第九章 定 积 分
练 习 题
§1定积分概念
习 题
1．按定积分定义证明：?akdx?k(b?a).
2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集??i?，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
112x32xdx;提示:i?n(n?1)edx; ??（1）?0 （2）04i?113nb（3）?a
bexdx; （4）?badx(0?a?b).(提示:取?i?xi?1xi) 2x§2 牛顿一菜布尼茨公式
1．计算下列定积分：
e2dx1?x2dx(2x?3)dx（1）?0； （2）?01?x2； （3）?exlnx；
11ex?e?x3tan2xdxdx??（4）0； （5）0214?
（6）?4(x?91x)dx;
12;(lnx)dx 1??（7）01?x （8）xeedx2．利用定积分求极限： （1）limn??（2）limn??1(1?23???n3); 4n?111?n?????;222? (n?2)(n?n)??(n?1)n(111????); 222n?1(n?2)2n（3）limn??（4）limn??1?2?n?1(sin?sin???sin) nnnn 3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有
?af(x)dx?F(b)?F(a).
§3 可积条件
1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则??'i??'i???i??i.
T'Tb2．证明：若f在[a,b]上可积，?a,????a,b?,则f在?a,??上也可积.
3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处
f????g???,则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且
bb??f?d???a?ag???d?.
3．设f在[a,b]上有界，?an???a,b?,liman??n?c.证明：在[a,b]上只有
an?n?1,2,??为其间断点，则f在[a,b]上可积。 4．证明：若f在区间?上有界，则
f????supf??'??f??\?supf????inf??????.。
?',?\??
§4 定积分的性质
1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则
limT?0i?1?f(?)g(?)?x??iiinbaf(x)g(x)dx,
其中?i,?i是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2?,n.
2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)?xdx与?x2dx;
0011?0?0 (2)?2xdx与?2sinxdx.
3.证明下列不等式: (1)
?2???201dx??; (2)1??ex2dx?e;
02121?sinx2? (3)1??204elnxsinxdx?dx?6. dx? (4)3e??ex2;x4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明?5.设f与g都在[a,b]上可积,证明
ba?f?x??dx?0.
2 M(x)?max?f(x),g(x)?,m(x)?min?f(x),g(x)?
x??a,b?x??a,b?在[a,b]上也都可积.
6.试求心形线r?a(1?cos?),0???2?上各点极径的平均值.
7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足f(x)?m?0.证明
1在[a,b]上也f可积.
8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).
9.证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得
?f(x)g(x)dx???g(x)dx.
aabb10.证明:若f在[a,b]上连续,且?f(x)dx??xf(x)dx?0,则在(a,b)内至少
aabb存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若?x2f(x)dx?0,这时f在(a,b)内是否至
ab少有三个零点?
11.设f在[a,b]上二阶可导,且f\(x)>0.证明:
1b?a?b?(1)f?f(x)dx; (2)又若f(x)?0,x??a,b?,则又有 ???a2b?a??
2bf(x)?f(x)dx,x??a,b?. ?ab?a12.证明:
11(1)ln(1?n)?1?????1?lnn; (2)lim2nn??1?11???2n?1. lnn
§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)
习 题
1． 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明：
dv(x) ?f(t)dt?f(v(x))v'(x)?f(u(x))u'(x).
dxu(x)2．设f在[a,b]上连续，F(x)??f(t)(x?t)dt.证明F”(x)?f(x),x?[a,b].
ax3．求下列极限： （1）limx?01x2costdt; （2）limx?0x??(?etdt)2x2?0x0edt2t2.
4．计算下列定积分：
? （1）?20cos5xsin2xdx; （2）?104?x2dx; （3）
?a0x2a2?x2dx(a?0);
1dxdx （5）;?0ex?e?x; （6）0(x2?x?1)3/2 （4）??1?20cosxdx;
1?sin2x1?0 （7）?arcsinxdx; （8）?2exsinxdx; （9）
0?e1elnxdx;
（10）?edx; （11）?x201xa0a?xdx(a?0); （12）a?x??20cos?d?.
sin??cos?a5.设f在[-a,a]上可积。证明： （1）若f为奇函数，则?f(x)dx?0;
?aa（2）若f为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx.
?a0a6．设f为（-∞，+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有
a?a?pf(x)dx??f(x)dx.
ap7．设f为连续函数。证明：
?0?0（1）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx; （2）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx.
?8．设J（m,n）??2sinmxcosnxdx(m,n为正整数）。证明：
0 J(m,n)?n?1m?1J(m,n?2)?J(m?2,n), m?nm?n并求J(2m,2n).
9．证明：若在（0，∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有
g(x)??f(t)dt?常数， x?(0,??),
xaxc,x?(0,??),c为常数。 x10．设f为连续可微函数，试求
dx ?(x?t)f'(t)dt,
dxadx并用此结果求?(x?t)sintdt.
dx0则f(x)?11．设y?f(x)为[a,b]上严格增的连续曲线（图 9-12）。试证存在ξ∈（a,b），使图中两阴影部分面积 相等。
12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对
任何正整数n恒有 ?2?0f(x)sinnxdx?0.
x?c13．证明：当x＞时有不等式 14
．
证
明
?xsint2dt?：若
1(c?0). xf在[a,b]
上可积，
?在??,??上单调且连续可微,?(?)?a,?(?)?b,则有
?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt.
ab??※
15.证明：若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在???a,b?,使得
b ?f(x)g(x)dx?g(a)?f(x)dx?g(b)?f(x)dx.
aa?b?（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有