课程编号：INF02096 北京理工大学 2014 – 2015 学年第一学期
2012级机械类数字信号处理B期末试题A卷答案
班级 学号 姓名 成绩
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分)
1. 在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ω s ，信号最高截止频率为Ω c ，则折叠频率为 ( D ) 。
A. Ω s
B. Ω c C. Ω c /2 D. Ω s /2
2. 序列x(n)=Re(ejnπ/12)+Im(ejnπ/18),周期为( B )。 A.
? B. 72 C. 18π D. 36 183. 下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( D ) A.y(n)=x3(n)
B.y(n)=x(n)x(n+2) D.y(n)=x(n2)
C.y(n)=x(n)+2
4. 对于离散时间傅立叶变换而言,其信号的特点是( D )。 A. 时域连续非周期，频域连续非周期 B. 时域离散周期，频域连续非周期
C. 时域连续周期，频域离散非周期 D. 时域离散非周期，频域连续周期
5. 已知 x(n)= δ (n) ， N 点的 DFT ［ x(n) ］ =X(k) ，则 X(5)=( B ) 。
A.N
B.1
C.0
D.- N
6. 设点数为4的序列x(n)=2nR4(n)，y(n)为x(n)的一圆周移位：y(n)=x(n-2)，则y(1)=( D )
A．1
B.2
C.4
D.8
7. 计算n=2m（m为整数）点的按时间抽取基-2FFT需要( A )级蝶形运算。
A．m
B.l/2
C.N
D.N/2
8. 下列各种滤波器的结构中哪种不是 I I R 滤波器的基本结构 ( D ) 。 A. 直接型
B. 级联型 C. 并联型
D. 频率抽样型
9. 以下对双线性变换的描述中正确的是 ( C ) 。
A. 双线性变换是一种线性变换
1
B. 使用的变换是 s 平面到 z 平面的多值映射 C. 双线性变换是一种分段线性变换 D. 不宜用来设计高通和带阻滤波器
10. 下列关于窗函数设计法的说法中错误的是( D )。
A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小
B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关 C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加 D.窗函数法不能用于设计FIR高通滤波器
二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题1分，共10分)
1．线性移不变系统就是实际可实现和稳定的系统。( × ) 2. 两系统的系统函数形式相同，则可判断这两系统就相同。( × ) 3. 离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的特点都是离散时间、离散频率。( × )
4. 若X（k）为有限长序列x(n)的N点DFT，则X(k)具有周期性。( √ ) 5. 按时间抽取的基-2 FFT算法中，输入顺序为自然排列，输出也可以为自然顺序。( √ )
6. 序列x（n）的N点按时间抽取基2-FFT与按频率抽取基2-FFT的计算次数相同。（ √ ）
7. FIR滤波器具有与IIR滤波器相同类型数目的滤波器结构。( × ) 8. FIR滤波器必是稳定的。（ √ ）
9. 用冲激响应不变法设计 IIR 滤波器，能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器。( √ )
10. 用窗函数法设计 FIR 低通滤波器的优点之一是，可以通过增加截取长度 N 来减小阻带衰减。( × ) 三、填空题(每空2分，共20分)
1．线性移不变系统的性质有____交换_____、结合律及____分配_____。 2. 实序列 x(n) 的 10 点 DFT［ x(n) ］ = X(k) （ 0 ≤ k ≤ 9 ），抽样频率fs=200Hz，已知 X(1) = 1+ j ，则 X(9) =__________ 1- j，X(9)对应的频率成分是__________180Hz。
1?z?3?1?2?1?z?z3．序列R3(n)的z变换为_________，其收敛域为?11?z
2
__0?z??_______。
4．某线性移不变系统当输入 x(n) = δ (n-1) 时, 系统输出 y(n) = δ (n -2) + δ (n -3) ，则该系统的单位冲激响应 h(n) =__________δ (n-1)+ δ (n -2)，系统函数H(Z) =__________。Z-1+ Z-2
5．在FIR滤波器的窗函数设计法中，窗函数的频谱性能指标中最重要的是 __________ 主瓣宽度与 __________ 旁瓣幅度与主瓣幅度的比例。
四、计算与证明题（共50分） 1. 已知DFT[x(n)] = X(k) ，N点， （1）求DFT[X(n) ]；（5分）
（2）并证明：若x(n) = -x(N-1-n)，则X(0)=0。（5分）
nk解: Y(k)?DFT??X?n?????X?n?WNn?0N?1???x(m)WWmnN?n?0m?0N?1N?1N?1nkN(m?k)n??x(m)?WN m?0n?0N?1N?1??x(m)N?m?0r????x(rN?k)N?Nx((?k))RN(k)?Nx((?n))RN(n)m?k?rN时，r为整数，即m?rN?k0??k??N?1 证明：
nk X(k)?DFT??x?n?????x?n?WN,0?k?N
n?0N?1 当x(n)??x(N?1?n)时
nkX(k)??[?x(N?1?n)RN(n)WNn?0?k(N?1?n)k(N?1)???[x((N?1?n))NRN(n)WNWN]n?0?nkk(N?1)???x(n)WNWNn?0k(N?1)?X(k)??X((?k))NRN(k)WNN?1N?1N?1
?当k?0时
X(0)??X(?0)??X(0)
?X(0)?0
2. 一线性移不变离散时间系统的单位抽样响应为：h(n)=(1+0.3n+0.6n)u(n)
3
（1） 求系统的转移函数，收敛域；（5分） （2） 写出系统的差分方程；（5分）
（3） 画出系统直接I型、直接II型实现的信号流图。（5分） 解: （1）、
h(n)?(1?0.3n?0.6n)u(n)111H(z)????1?11?z1?0.3z1?0.6z?13?3.8z?1?1.08z?2? 1?1.9z?1?1.08z?2?0.18z?33?3.8z?1?1.08z?2?(1?z?1)(1?0.3z?1)(1?0.6z?1) 即为转移函数。极点为：1，0.3，0.6，收敛域为：|z|?1。 （2）、差分方程为：
y(n)= 1.9y(n-1)-1.08y(n-2)+0.18y(n-3)+3x(n)-3.8x(n-1)+1.08x(n-2) （3）、直接I型结构：
X（n）
Z-1
直接II型结构：
X（n）
3 Y（n）
Z-1 -3.8 1.9 -1.01.08 0.18 Z-1 Z-1 Z-1 3 Y（n）
Z-1 1.9 -1.08 -3.8 Z-1 1.08 0.18 Z-1 4
3．已知一模拟滤波器的系统函数为：
Ha(s)?
3(s?1)(s?3)
试分别用冲激响应不变法及双线性变换法变换成数字滤波器的传递函数H(z)，设采样周期T=0.5S。（10分） 解：
用冲激响应不变法：（5分）
2?2s?1s?3330.2876z?144H(z)????0.5?1?1.5?11?ez1?ez1?0.8297z?1?0.1353z?2 Ha(s)?用双线性变换法：（5分）
3(1?2z?1?z?2)H(z)?Ha(s)|1?z?1??1s?4(2?z)?11?z33
4．用频率取样法设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知 ?c?0.5?,N?11，按照过渡带抽样有1点取值0.5，
（1）写出频率取样方法和画出频率抽样图（10分）； （2）说明设计步骤（5分）。
解： N=11，α=（N-1）/2=5，
?c?2?k??0.5?Nckwc =3，选H(k)周期偶对称，
N为奇数 ，按第一种频率抽样法，过渡带抽样有1点： Hrs =1 1 1 1 0.5 0 0 0.5 1 1 1
频率抽样法的设计步骤： I）
根据截止频率对应的K及线性相位的要求（如对第一类线性相位FIR滤波器，第一种抽样），对给定的频率响应等间隔抽样确定：
5
|H(k)|?|H?N?k?|?|Hd(k)|?|Hd(ej?)??2?kN?2??N?1?N?1??k,k?0,1...,?N?2?? 2??????k????(N?k)???2?N?1N?1?? ?(N?k),k?,...,N?1?????2?2??N?II） 确定
共轭对称
III） 求HFIR滤波器的单位抽样响应： (k)?|H(k)|ej?(k)
h（n）为实数，且为满足线性相位， h（n）也偶对称。
IV）求出 h(n)?Re[IDFT?H(k)?]
验证结果。
H(ej?)?DTFT[h(n)]
6