2014年中国数学奥林匹克试题
第一天 2014年12月30日
8:00-12:30 重庆
,n?，则
1. 给定实数r??0,1?，证明：若n个复数z1,z2,,zn满足zk?1?r?k?1,2,111z1?z2??zn?????n2?1?r2?．
z1z2zn
2. 如图，设A,B,D,E,F,C依次是一个圆上的六个点，满足AB?AC．直线AD与BE交于点P，直线AF与CE交于点R，直线BF与CD交于点Q，直线AD与BF交于点S，直线AF与CD交于T．点K在
SKPQ?线段ST上，使得?SKQ??ACE．求证：． A KTQR
B
C
S T K
R P Q
3. 给定整数n?5．求最小的整数m，使得存在两个由整数构成的集合A,B，同时满足：
（1）A?n，B?m，且A?B；
（2）对B中任意两个不同的元素x,y有x?y?B当且仅当x,y?A．
第 1 页 共 2 页
F
E
D
第二天 2014年12月31日 8:00-12:30 重庆
n
4. 求具有下述性质的所有整数k：存在无穷多个正整数n，使得n?k不整除C2n．
5. 某次会议共有30人参加，其中每个人在其余人中至多有5个熟人；任意5个人中存在两人不是熟人．求
最大的正整数k，使得满足上述条件的30个人中总存在k个人，两两不是熟人．
6. 设非负整数的无穷数列a1,a2,2k2m满足：对任意正整数m,n均有?ain?m．
i?1证明：存在正整数k,d，满足?aid?k?2014．
i?1
第 2 页 共 2 页