2009年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题7分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。） 1、
已知集合M??xx?3n,n?Z?,Q??xx?3n?1,n?Z?,P??xx?3n?1,n?Z?,且a?M,b?Q,c?P，d?a?b?c，则??
Ad?M，Bd?P，Cd?Q，D以上都不对。2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（ ）
A 776，B 784， C 798， D 800。 3、
一个三角形的三边恰为m2?m?1,2m?1,m2?1,则这个三角形的最大角为?A?
?2?3?5?，B，C，D。334622224、若实数x,y满足?x?2?+?y?5?=9,，则?x?1?+?y?1?的最大值为?A 2， B 4， C 8， D 64。 5、
?
将函数y?f?x?cosx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，4 得函数y?cos2x的图象，则f?x?可以是??Asinx,Bcosx,C2sinx,D2cosx.6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值为（ ） A 3， B 4, C 5， D 6。 7、
开始 K＝0 ?已知f?x?=a-23是R上奇函数，则方程fx=的根为???2x?15315A2，B,C，D。523? S＝0 否 S＜100？ 是 ????????已知向量OB＝?2,0?，向量OC＝?2,2?，????向量CA＝2cos?,2sin?，则向量???????? OA与向量OB的夹角的范围是??8、
??S＝S＋SS 输出K K＝K＋1 ?????5??A?0，?，B?，?，?4??412??5?????5??C?，?，D?，??122??1212?
1
结束 二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分，请将正确的答案填在横线上。） 9、设数列?an?的通项为an=2n-7?n?N?，则a1?a2???a15?_____. 10、
已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根，则实数a的取值范围是＿＿＿。11、考虑十进制中的四位数，其数码是互不相同的正整数，且数码之和是12，则这样的四位数中的四个数码只可能是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、先后抛掷两粒均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2，3,4，5,6），骰子朝上的面的点数分别为x,y，则log2xy?1的概率为＿＿＿＿＿＿。
13、正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积是＿＿＿＿＿＿＿。 14、
对任意整数x，函数f?x?满足f?x?1??1?f?x?，且f?1??2，则f?2009?＝＿＿＿＿＿。1?f?x????已知a=?cosx,sinx?,b=??cosx,cosx?,c=??1,0?,??? （1）若x=，求向量a与c的夹角。6????9???2?当x??,?时，求函数f?x?=2a?b+1的最大值。?28?
2
三、解答题（本大题共5个小题，共52分，要求解答有必要的过程。） 15、（本题满分10分）
16、（本题满分10分）
已知函数f?x??x?a,g?x??ax?a?R?,?1?判断函数f?x?的对称性和奇偶性。?2?当a?2时，求使g2?x?f?x??4x成立的x所构成的集合。?3?若a?0,记F?x??g?x??f?x?，且F?x?在?0,???上有最大值，求a的取值范围。 17、（本题满分10分）已知O为两同心圆的圆心，且大圆半径为5，小圆半径为2，如图所示，过小圆上任意一点P作弦PA与过P点的大圆之弦BC垂直，求证：AB＋BC＋AC为定值，并求出这个定值。
222AOCBP
3
18、（本题满分10分）已知圆O的方程为x2?y2?5，其中O为坐标原点。（1）设点P?a,b?????是圆O内一点，点Q是直线ax?by?1上一动点，试求OQ的取值范围。
?（2）设a??1,2?，直线l与圆O相交于两点A、B，若圆O上存在一点C，使得?????????????OC?OA?OB??a?????，试求直线l的方程。
19、（本题满分12分）
已知二次函数f?x??ax2?bx?c.?a?0?,?1?若x1,x2?R,x1?x2,且f?x1??f?x2?,1f?x1??f?x2??有两个不相等的实数根，且必有???2
1一个根属于?x1,x2?,?2?若关于x的方程f?x???f?x1??f?x2??在?x1,x2?的根为??2m,且满足x1?x2?2m?1,设函数f?x?的图象的对称轴为x?x0,求证：x0?m2.求证：关于x的方程f?x??
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答案：一、1、C，2、B，3、B，4、D，5、C，6、B，7、A，8、D。 二、9、153,10、a?1，11、1、2、3、6或1、2、4、5。 12、14、2． 三、15、
14383. 13、或. 1299???????5????31a?c3解：a???1?当x=时，?2,2???cosa,c?????2?a,c?6,6a?c?????2?f?x??2a?b?1??2cos2x?2sinxcosx?1?sin2x?cos2x????2sin?2x??,?x??,?,??2x????,2??4?4??4??28???????sin?2x?????1,1??f?x?max?2.4??????9??????
16、
解：?1?f?x?关于直线x?a对称,当a?0时,f?x?为偶函数,当a?0时,f?x?为非奇非偶函数。?2?当a?2时，g2?x?f?x??4x2x?2?4x,1当x?0时,适合题意?x?2?x?2,x?02?2?x?2?1,3?2?x?1,x?2x?1?0x?2x?1?0???综合知x?0,1,2?1?????a?1?x?ax?a3?Fx?ax?x?a?,a?0,????????a?1?x?ax?af?x?在?0，＋??上有最大值，?a-1?0,又a?0，?a??0,1?.17、
ADOEBPC如图，作OE?BC于E，OD?AP于D，
设OE?x,OD?y,?AB2?BC2?AC2?2AP2?BP2?CP2?4BE2?8x2??BE?y???BE?y??4BE2?8x2?6BE2?2y2?8x2?6?25?x2??2y2?150?2?x2?y2??158.22
5
18、
????解：?1?a?b?5,OQ?221a2?b2???????????????2?OC?OA?OB??a＝??－1,2?,??0,C点在圆O上，且?－1,2?在圆O上，??＝1，C?－1,2?，设A?x1,y1?,B?x2,y2?,?x1?x2??1,????????????????????11又OC?OA?OB，OA＝OB?AB?OC，kAB???,kOC21?设l的方程为y=x?b代入圆的方程得5x2?4bx?4b2?20?024b515?x1?x2????1,?b?,?l的方程为y=x?.542419、
5.511解：fx?fx,?gx???f?x1??f?x2???1?设g?x??f?x?????????12?1?,2?2?211g?x2???fx?fx,?gx?gx??fx?fx???????????????21?1212??0,2?4?又?g?x?也是二次函数，由二次函数的图象特征知，g?x?在?x1,x2?上必有一个根，且g?x?＝0有两个不相等的实数根。?f?x??1f?x1??f?x2??有两个不相等的实数根,且在?x1,x2?上必有一个根.???2b11122fx?fx?ax?x?b?x1?x2??c??2??x0??,f?m??am2?bm?c???????12?12??2a22211b12?am2?bm?a??x1?x2??2x1x2??b?2m?1??x0????m2?2m??x1x2?22?2a2212m?1?11???m2?2m??x1?2m?1?x1????x1??m??m??m2,?22?44?1?上式等号成立时,m?,x1?0,?x1?x2?2m?1?0?x2?0与x1?x2矛盾。2?x0?m2.
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