则∴
，
，EG=nAE；
∵AD是△ABC的中线， ∴EG=CG，AC=（2n+1）AE， ∴
．
点评： 该题主要考查了平行线分线断成比例定理等几何知识点的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线断成比例定理来分析、判断、推理或解答．
26．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元/件） 每天销量（件） 1≤x＜50 x+40 200﹣2x 50≤x≤90 90 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
考点： 二次函数的应用． 专题： 销售问题．
分析： （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
解答： 解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x+180x+2000， 当50≤x≤90时， y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000， 综上所述：y=
；
2
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×45+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
2
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE?CA． （1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．
2
2
考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 专题： 计算题．
分析： （1）由DC=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC； （2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到
=
=2，则PC=2CD=4
，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到
=
，再利
2
用比例的性质可计算出r的值． 解答： （1）证明：∵DC=CE?CA， ∴
=
，
2
而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE， ∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC；
（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD=CB， ∴
=
，
∴∠BOC=∠BAD， ∴OC∥AD，
∴===2，
∴PC=2CD=4，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD， ∴△PCB∽△PAD， ∴
=
，即
=
，
∴r=4，
即⊙O的半径为4．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：（0，﹣1），抛物线
与x轴、y轴分别交于点A和点B
经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．
分析： （1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可． 解答： 解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1）， ∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=x﹣1， ∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n）， ∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=x+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
2
∴，
解得，
2
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣1；
（2）令y=0，则x﹣1=0， 解得x=，
∴点A的坐标为（，0）， ∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1， ∴AB=
=
=，
∵DE∥y轴， ∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE?DF=DE?sin∠DEF=DE?
=DE，
DE，
=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）， ∴D（t，t﹣t﹣1），E（t，t﹣1）， ∴DE=（t﹣1）﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+2t， ∴p=
×（﹣t+2t）=﹣t+
22
2
2
2
2
t，
∵p=﹣（t﹣2）+，且﹣＜0，
；
∴当t=2时，p有最大值
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， ∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1， 解得x=，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1+， 解得x=﹣
．
．
2
2
2
2
综上所述，点A1的横坐标为或﹣
点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．