用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
江夏一中 郭飞
教学目标：
知识与技能
（1）能解决弦中点等有关问题；
（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法
（1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；
（2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。
情感态度与价值观
（1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。
（2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点：
点差法适用范围 教学难点：
（1）弦中点问题的求解思路灵活运用 （2）双曲线的中点弦存在性问题； （3）弦中点的轨迹应在曲线内。 教学方法
师生互动探究式教学法
引言：我们把不能解决的案子，称为悬案。在圆锥曲线中也有三大弦案:中点弦、直角弦、焦点弦。今天我们学的就是中点弦。 一、求过定点被定点平分的弦所在直线的方程
例1、过椭圆16?4?1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在的直线方程
请学生口述过程，找到处理这种问题的所在方法 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：
(4k2x2y2?1)x?8(2k22?k)x?4(2k?1)?16?02
又设直线与椭圆的交点为A?x1?x2?8(2k4k22x1,y1?，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是
?k)?1， x1?x22?4(2k4k22?k)?1?2又M为AB的中点，所以解得
k??12，
，
故所求直线方程为x?2y?4?0。 x,yx,y解法二：设直线与椭圆的交点为A(11)，B（22），M（2，1）为AB的中点，
所以x1?x2?4，y1?y2?2，x1,y1
又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2两式相减得
y1?y2所以
x1?x2(x1?x2)?4(y1?y2)?022222222?16，
，
12，
??x1?x24(y1?y2)??12，即
kAB??故所求直线方程为x?2y?4?0。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A?x,y?，由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为B?4?x,2?y?，
22?x?4y?16?22(4?x)?4(2?y)?16?因为A、B两点在椭圆上，所以有，
两式相减得x?2y?4?0，
由于过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x?2y?4?0。
解法四：利用点差法得出的结论KOM?KAB??a2得
x?2y?4?0。 故所求直线方程为2424,0?,?0,2?解法五：学生直接由图形看出端点?的中点即所求直线。 1?KAB??1?KAB??1b2结论1(椭圆中点弦的斜率公式)：设
M?x0,y0?b22x22为椭圆a?yb22?1弦（
不平行且
垂直轴）的中点，则有：
2xkAB?kOM??a
M1,1 例2、已知双曲线x?2?1，经过点??作一条直线L，使L与双曲线交于A、B，
y2且点M是线段AB的中点，求出直线L的方程。
请学生演板，学生只求出直线方程。两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一
种点差法 解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1?x2?2，y1?y2?2
x1?2y122?1，
x2?2y222?1
两式相减，得
(x1?x2)(x1?x2)?12(y1?y2)(y1?y2)?0kAB?y1?y2x1?x2?2 ?
故直线AB:y?1?2(x?1)
提醒学生画图观察此时的结果不正确，补充以检验。
?y?1?2(x?1)?2y?2x??1?2由?
22消去y，得2x?4x?3?0
? ??(?4)?4?2?3??8?0
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
问题1：例题1中的直线是不是也要验证呢？
问题2是否也可以不验证?>0而只需通过点M与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢
答：可以。如果点M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证?；如果点M在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证?>0。
师：归纳得很好，操作性很强。以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证?>0是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。
注意1解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证?>0是否成立。?在求范围，考虑直线存在性，求多个值去增根时我们用得较多。
由例2请学生总结韦达定理法和点差法到底哪一种更好？ 生：点差法好，运算简单，形式有美感
那么双曲线中我们是否有相应的结论呢？请学生分小组总结，并寻找记忆公式方法。
M?x0,y0?bx22定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设为双曲线a22?yb22?1弦（
不平行且垂直轴）的中点，则有圆中是否存在此定理呢？设
xxkAB?kOM??2a
22M?x0,y0?为圆
x?y?a弦（不平行且垂直
轴）的中点，则有kAB?kOM??1
这里我们用了什么数学思想？答：类比的思想
请学生做此练习
练习.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F?7,0?，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN中点的横坐标为3，则此双曲线的方程是（ ）
A.3?4?1 B. 4?3?1 C. 5?2?1 D. 2?5?1 由MN的中点Q的横坐标为3，Q也在直线y=x-1上，则
kMN?kOQ??ba22?2x2y2x2y2x2y2x2y2?2yQ??25
?ba22?52 故选D
总结：这里的结论即弦中点坐标，弦斜率与曲线方程的关系。
二、平行弦中点轨迹
y2例3、已知椭圆75?x225?1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则
x1?x2?2x， y1?y2?2y
y12又 75?x1225?1y22，75?x2225?1
两式相减得25(y1?y2)(y1?y2)?75(x1?x2)(x1?x2)?0
y1?y2??3xy即y(y1?y2)?3x(x1?x2)?0，即x1?x2k??
y1?y2x1?x2?3?3xy?3 ?，即x?y?0
?x?y?0?22x53535353?y??1Q(,?)P(?,)?7525?22 22由，得
?点M在椭圆内
x?y?0(?532?x?532)?它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
点评:此题学生很多没写出范围，也有学生补充中点弦轨迹应在曲线内，端
点取不取也可让学生思考，端点即切线得的点并非弦，所以无等号。
注意2：中点弦轨迹应在曲线内
小结前三个题为什么我们可以用点差法?请演板的同学回答 生：例2 是知弦中点坐标，曲线方程，求弦斜率 生：练习是知弦中点坐标，弦斜率，求曲线方程 生：例3 是知弦斜率，曲线方程，求弦中点 总结：这三者知二而求一，这是用点差法的依据 三．过定点的弦的中点的轨迹
x2例4、过椭圆64点的轨迹方程。
?y236?1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中
演板的学生用参数法，主要根据是韦达定理。请学生口答补充以上两法。 点差法可用公式探路，点差作答。
解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），
?9x12?16y12?576?229x?16y?5762则有?2，
22两式相减得
9(x1?x2)?16(y1?y2)?022，
又因为x1?x2?2x，y1?y2?2y，所以9?2x(x1?x2)?16?2y(y1?y2)?0，
y1?y2?9x16y所以x1?x2kPQ?，
9x?yx?8y?0而
x?(?8)，故16y9x?72x?16y22。
化简可得
?0 （x??8）。
解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），
x?x1?82y?y12可得x1?2x?8，y1?2y，
x12由，
又因为Q在椭圆上，所以
64?y1236?1，