第三节 圆的标准方程和一般方程
A组
1．若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝k2－1，若圆
?k2－1<|k|与两坐标无公共点，即?2，解得1 ?k－1<1 2．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________． 解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴ 1 ＝1，解得x＝2或x＝－(舍)， 00 242＋(－3)2|4x0－3| ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. ??x－2y≥0 3．(2010年广东汕头调研)已知D是由不等式组?，所确定的平面区域，则圆x2＋y2 ?2x＋y≥0? ＝4在区域D内的弧长为________． 答案：π 4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________． 解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关b－1 ??a＋1＝－1， 于直线x－y－1＝0对称，∴?a－1b＋1 ??2－2－1＝0，C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 5．(原创题)圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是________． 解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝2 ×5－c，解得c＝－3. 2 2倍．由于圆的标准方2 ??a＝2，解得?圆C2的半径为1，∴圆 ?b＝－2，? 6．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2， 化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求． (2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l2 是此圆的切线，连结CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16， |5＋3| 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝42， 2 此时|QM|的最小值为32－16＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2， 易证四边形M1CM2Q是正方形，∴l2的方程是x＝1或y＝－4. B组 1．(2010年福州质检)圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为________________． 解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2. 2．(2010年扬州调研)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___． 1 解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝，又OA＝a2＋b2，∴以 2O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π. 3．(2009年高考上海卷改编)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________． 解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02＋y02＝4，连线中点坐标为(x，y)， ???2x＝x0＋4，?x0＝2x－4，则???代入x02＋y02＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. ???2y＝y0－2，?y0＝2y＋2， 4．已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________. 解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心 (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1. 5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________． 解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为206. 6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是____________________． 解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝25，∴半径r＝5. 而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 7．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标的取值范围是______． 1 解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－)2＋(|y| 2所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，值范围是{0}∪[1，2 ]． 8．(2010年安徽合肥质检)曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________． 解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形 11211111 的外接圆圆心为(，－)，半径为，所以方程为(x－)2＋(y＋)2＝.答案：(x－)2＋(y＋)2 22222222 1＝ 2 y 9．设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式＋c≥0恒成立，则c x－3的取值范围是________． y－0yy 解析：由题意，知－c≤恒成立，又＝表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率， x－3x－3x－3 333 范围为[－，0]，所以－c≤－，即c的取值范围是c≥. 44410．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E. (1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值； (2)设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由． aa2 解：(1)直线CD方程为y＝x＋4，圆心E(，)，半径r＝a. 222 aa|－＋4|222 由题意得＝a，解得a＝4. 22 (2)∵|CD|＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为32.又圆心E到直线CD距离为22(定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只 2a 须圆E半径＝52，解得a＝10， 2 此时，⊙E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50. 11．在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值． 解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切 原点，则PO11 －)2＝. 22故PO的取 8＋6－101 圆C的半径r＝(OA＋OB－AB)＝＝2.∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. 22 设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则 d＝PA2＋PB2＋PO2 ＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 ＝3x2＋3y2－16x－12y＋100 ＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76. ∵点P(x，y)在圆C上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x. ∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]． ∴当x＝0时，dmax＝88；当x＝4时，dmin＝72. 12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：(1)显然b≠0.否则，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b>0，即b<1. 所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． (2)由方程x2＋2x＋b＝0，得x＝－1±1－b. 于是，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b，0)，(－1＋1－b，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得 (－1－1－b)2＋D(－1－1－b)＋F＝0， 2 ? ?(－1＋1－b)＋D(－1＋?b＋Eb＋F＝0. 2 1－b)＋F＝0， 解上述方程组，因b≠0， D＝2，?? 得?E＝－(b＋1)，??F＝b. 所以，圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圆C过定点．证明如下： 假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02 ＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x02＋y02＋2x0－y0＝0. ???x0＝0，?x0＝－2，?解得或?经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上， ?y0＝1，?y0＝1.?? 因此，圆C过定点．