个整数在它们的自然位置上（所谓自然位置就是整数i排在第i位上）
解：由题意可知，从n个数中取n-k个数后，再将n-k个数错位排列，则所求的排列数是：
??Dnn?kn?k??nn?k111n?k?(n?k)!(1?1!?2!???(?1)(n?k)!)
n!111n?k(1?????(?1)) =k!1!2!(n?k)!
5.8定义D0=1，用组合分析的方法证明 n！=
??D???D???Dn0nn11n22????nn?D
0证：n！是对｛1,2…….，n｝进行全排列，
?n0nnnD?D?D????n?1?1?2?2?n?D0
是对｛1,2…….n｝进行分类：
?n?当{1,2,……,n}中有0个数错位排列，则排法为??0??D0
???n?当{1,2,……,n}中有1个数错位排列，则排法为??1??D1
???n?当{1,2,……,n}中有2个数错位排列，则排法为??2??D2
??……..
?n?当{1,2,……,n}中有n个数错位排列，则排法为??n??Dn
??由于加法法则｛1,2……n｝的排法总数为
?n??n??n??n??n??n???0??D0???1??D1?.....???n??Dn???0??Dn???1??D1?......???n??D0 ?????????????n??n??n????n!??Dn??D1?......??D0??????所以： 01n??????5.9证明Dn为偶数当且仅当n为奇数. 证：（反证法）
“?”设n为偶数，则nDn(?1)为奇数，即 n?1为偶数，
Dn?nDn?1?(?1)“
n为奇数，与题设Dn为偶数矛盾，所
以假设不成立。即n为奇数。
?”已知n为奇数，则n-1是偶数，
Dn?(n?1)(Dn?2?Dn?1)为偶数。
综合上所述，Dn为偶数当且仅当n为奇数可证。5.1在1和
10000之间不能被4，5，6整除的数有多少个？
解：令P1, P2, P3, 分别表示一个整数能被4,5,6整除的性质. 设 S={x|x是整数?1≤x≤10000} Ai ={x|x∈S?x具有性质Pi }, i=1,2,3. 则：|A1|=【10000 / 4】=2500 |A2|=【10000 / 5】=2000 |A3|=【10000 / 6】=1666
|A1∩A2|=【10000 / （4，5）】=【10000 / 20】=500 |A1∩A3|=【10000 / （4，6）】=【10000 / 12】=833 |A2∩A3|=【10000 / （5，6）】=【10000 / 30】=333 |A1∩A2∩A3|=【10000 / （4，5，6）】=【10000 / 60】=166 由定理得： |A1∩A2∩A3|
=10000 -（2500+2000+1666）+（500+833+333）-166 =5334
6.1 計算 f (0)―f(1)＋f(2) ―??＋(?1)f(n) 当n为偶数时：
f (0)―f(1)＋f(2) ―??＋(?1)f(n)
= f (0)＋f(0)+f(2)＋ ??＋f(n―2) 由性质2得： =1+ f(n―2+1)= f(n―1)+1 当n为奇数时：
f (0)―f(1)＋f(2) ―??＋(?1)f(n)
= f (0)―f(1)＋f(2) ―??＋f(n-1)―f(n)+ f(n+1)―f(n+1) = f (0)＋f(0)+f(2)＋ ??＋f(n―1)―f(n+1) 由性质2得： =1+ f(n―1+1)―f(n+1) =1+ f(n)―f(n+1) = f(n―1)+1 6.2 证明下面的等式 ⑴f?n?1??f?n??f(2n)
22nnn∵f?n?1??f?n?1??f?n??f?n?2?? ∵f?n??f?n??f?n?1??f?n?1??
∴f?n?1??f?n??f?n?1??f?n??f?n?2??+f?n??f?n?1??f?n?1?? =f?n?f?n?1??f?n?1?f?n?2?
=f?n?1??f?n?1??f?n?2???f?n?1?f?n?2? =f?n?2??f?n?1??f?n?1???f?n?1?f?n?1? =f?n?2?f?n??f?n?1?f?n?1? 由性质6得：= f(2n)
方法二：直接由性质6得：令2n=(n-1)+(n+1)
∴ f[(n-1)+(n+1)]=f(n+1-1)f(n-1+1)+f(n+1-2)f(n-1)2 =f?n?1??f?n?
⑵f?n?f?n?1??f?n?1?f?n?2?=f(2n) (由第一小题已证出) ⑶f?n??f?n?1??f?n?1??f?3n?2? ∵f(3n+2)=f(2n+1)f(n+1)+f(2n)f(n) f(2n+1)= f(n)f(n+1)+f(n-1)f(n) f(2n)= f(n)f(n)+f(n-1)f(n-1) ∴f(3n+2)=f(2n+1)f(n+1)+f(2n)f(n)
=[f(n)f(n+1)+f(n-1)f(n)]f(n+1)+[f(n)f(n)+f(n-1)f(n-1) ]f(n) =f?n?1?f?n??f?n?1?f?n?f?n?1??f?n??f?n?1?f?n? =f?n?1??f?n?1??f?n?1???f?n?1?f?n?f?n?1??f?n??f?n?1?f?n? =f?n?1??f?n?1?f?n?1??f?n?1?f?n?f?n?1??f?n??f?n?1?f?n?
=f3?n?1??f?n?1??f?n??f?n?1??f?n?1??f?n?1?f?n?f?n?1?+
3232232232333222222 f?n??f?n?1?f?n?
=f?n?1??f?n?1?f?n?1??f?n??f?n?1?f?n? =f?n?1??f?n?1?[f?n?1??f?n?]?f?n? =f?n??f?n?1??f?n?1?
6.4定义级数H1?a,H2?b,且Hn?2?Hn?1?Hn求Hn 解：特征方程为：x2?x?1?0 ∴ x?1?52333323323232
?1?5??1?5?? ?+?∴H=c??2?c?2?????(n)1nn2∵H1?a,H2?b,
?1?5??1?5??1?5??1?5??=b ,c??=a ?+c??+c?∴c??2??2??2??2?????????122212解得：c1?35?55?5a?b 1010c2??35?55?5a?b 1010n35?55?5?1?H(n)=(10a?10b)??5??35?5?+(a?10??2?5?5?1?)b?10?5?? ?2??n
6.5 已知a0?0,a1?1,a2?4a3?12 满足递推关系
a?can1n?1?c2an?2?0
求c1,c2
解a3?c1a2?c2a1?0 a2?c1a1?c2a0?0 代入可求出：c1??4 c2?4
6.5已知a0?0,a1?1,a2?4,a3?12满足递推关系an?c1an?1?c2an?2?0，
求c1和c2. 解：由已知得：??12?4c1?c2?0?c??4，解得：?1.
4?c?0c?41??2