长郡中学2010理科实验班招生考试数学模拟试卷
一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1. 已知
1x+1y=3，则
5xy-x-y3x+3y-4xy的值等于 。
2．计算：20062006×2007+20072007×2008-2006×20072007-2007×20082008 = 。
3．函数y=x+1+x+2+x+3，当x = 时， y有最小值，最小值等于 ．
4．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若cm．
5．甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上
走16分钟，
乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于
6．如果关于x的方程x2a的
取值范围是 .
7．实数x、y满足x2－2x－4y＝5，记t＝x－2y，则t的取值范围为___________________． a
8．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一
较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方拼成一个大正方形. 图中Rt△ABC的斜边AB的长于 （用a，b的代数式表示）.
第8题 CAbBA B AB=6 cm，AC=4 cm，∠A=60°，则AD的长为
D
C
（第4题）
+2(a+1)x+2a+1=0有一个小于
1的正数根，那么实数
个 形 等
二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）
9．．若x3+x2+x+1=0，则x-27+x-26+ … +x-1+1+x+ … +x26+x27的值是（ ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）2
10．用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（
精
确
到
0.1
等
于
（ ）
（A）94.2 cm （B）91.4 cm
（C）61.4 cm （D）56.4 cm
11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款a元，后来她退了2包 酸奶，
再买4包鲜奶，收银员找还给她b元（0
12．定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小
值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD如图，AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与⊙K的距离为（ ） （A）4cm （B）8cm （C）10cm （D）12cm
C D
G （第12题）
a6b6a-b6a+b6元 （B）元 （C）元 （D）元
B F E A
K
13．国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下10局棋，每局胜方得1
分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到5.5分便夺冠，不继续比赛；
若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平. 若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局
棋
12中，
5甲夺冠
4564的概率
4964 是
（ ） （A）
ab+c （B） （C）
8bc+aca+b （D）
14．若
===t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是
（ ）
（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限
（C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限 15、如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有 （ ） （A）a＋b＋c＞0 （B）b＞a＋c （C）abc＜0 （D）c＞2b
16．已知x、y、z是三个非负实数，满足3x＋2y＋z＝5，
x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为（ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
三．解答题：（每题12分，满分36分）
17 。通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时
间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）：当0＃x10时，图象是抛物线的一部分；当10＃x20和20＃x45时，图象是线段。 （1）当0＃x10时，求y关于x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排使学生在
听这道题时，注意力的指标数都不低于36。
DBAC=30°。18．如图，点P是圆上一动点，弦AB=3cm，PC是DAPB的平分线，
（1）当DPAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
（2）当PA的长为多少时，四边形PACB是梯形？说明你的理由。
19．已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两根， ⑴求a和b的值；
⑵△A'B'C'与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，
B'BC'A'AMC将△ABC以1厘米/秒的速度沿BC所在的直线向左移动.
''' ⅰ)设x秒后△A'B'C'与△ABC 的重叠部分的面积为y平方厘米，求y与x之
间的函数关系式,并写出x的取值范围； ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？
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数学试题2参考答案
1、
25 2、0 3、-2，2 4、
1212532
5 、3：4 6、-1
a+ba2
9．C 10、C 11、D 12、A 13 D 14、A 15、D 16、A
17解：（1）设当0＃x10时，函数的解析式为y=ax2+bx+c
由图象知抛物线过(0,20),(5,39),(10,48)三点 ìc=20?? \\í25a+5b+c=39
???100a+10b+c=48解得a=- \\当0＃xy=-15x+215,b=245,c=20
10时，y关于x的函数关系式为 245x+20 （0＃x10） 6分
（2）当0＃x20时，y=48
28352x+ 当20＃x45时，y=- 255令y=36，则由-15x+2245x+20=36
解得x=4或x=20（舍去） 由-2825x+3525=36 解得x=305757 12分
\\在上课4分钟后和30分钟前，学生注意力的指标数都超过36
BP C \\AC=BC
18．解：（1）?PC平分DAPB \\?APC 由AB= ?S四边形P3,?BACACB30 ，求得AC=BC=1
+SDPA=SDABC
SDABC为定值，当SDPAB最大时，四边形PACB面积最大
此时PC应为圆的直径 ?PAC90 ??APC30 \\PC=2AC=2
12 \\四边形PACB的最大面积为创32=3(cm) …………………6分
2?BAC （2）若四边形PACB为梯形，则当AC∥PB时 由（1）知AC=BC=1,?CAB?PBC30 \\PA=BC=1 ……8分
30
当PA∥BC时，则?PAB?ABC30 在DPBA中，?APB60 ，?PAB?ABC?6?0?30 9 \\?ABP180 0 此时PA为圆的直径，由（1）知PA=2
\\当PA=1或2时，四边形PACB为梯形 …………………………12
19.解:(1)∵△ABC是Rt△且BC=a，AC=b，AB=5 （a>b）
又a、b是方程的两根
ì???∴í????D=(m-1)-4(m+4)>0a+b=m-1>0a?b22m+4>02 ∴(a+b)2-2ab=25
a+b=252
(m-1)-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m1=8 m2=-4 经检验m=-4不合舍去
∴m=8 ………… ∴x2-7x+12=0 x1=3 x2=4 ∴a=4，b=3
(2) ∵△A'B'C'以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。 ∴x秒后BB′=x 则B′C′=4-x ∵C′M∥AC ∴△BC′M∽△BCA ∴
BCⅱMC=BCAC ∴MC￠=12(4-x)3434(4-x)
∴SDBC￠M=y=∴y=
38382(4-x) 即y=38(4-x)2
x-3x+6 (0￡x￡4)
38(4-x)2当y=时 =
83x1=3 x2=5(不合舍去)
∴经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
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