7. 已知受力物体内一点的应力张量为
80??5050???ij??500?75??80?75?30??? （MPa），
1试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=解：设全应力为S， sx2的斜切面上的全应力、正应力和切应力。
，
sy, sz分别为S在三轴中的分量，
?Sx??xl??yxm??zxn??Sy??xyl??ym??zyn??Sz??xzl??yzm??zn? 则有:
?s?x=50
11?1?2=106.6 2+ 502+80
11?1sy?2?22=-28.0 =50+0-75
?zs=80
11?1?2=-18.7 2-752-30
则得到 S ＝111.79 MPa 则得到 ?＝26.1 MPa
222S2?Sx?Sy?Sz??Sxl?Sym?Szn而?2?S2??2 则得到 ?＝108.7 MPa
8. 已知受力体内一点的应力张量分别为
0?10??10???ij??0?100???10010???， ①
?01720????ij??17200??00100???， ②
??7??ij???4?0??4?100??0??4?? (MPa)
③
1） 画出该点的应力单元体；
2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量
6
和应力球张量；
3） 画出该点的应力莫尔圆。 解：1）略 2）在①状态下： J1=
?x+?y+?z=10
222J2=-(?x?y+?y?z+
?z?x)+
?xy+
?yz+
?zx=200
2J3=?x?y?z+2
?2xy?yz?zx-(
?x?yz+
?y?zx+
?z?2xy)=0
式
14—10和由
?3?J1?2?J2??J3?0 ??1＝20 ， ?2＝0 ， ?3＝-10
l111?m1?02,n1??2l12?2m2?0n12?2代入公式对于
?1＝20时：
l对于
?2＝0时：
对于
?3＝－10时：
： 主切应力
????1??2122??10m3?1n3?0l3?0??3??1?3??131??2??15?31??2??15
??2??323??2??5 最大切应力
7
??等效应力：12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2 ＝
700
应力偏张量：
??20?30?10?????40?ij???030??20????100?3??
1?3(??1101?2??3)(20?0?10)?m＝＝33 故
???20x?3??y??403
应力球张量：
??1000??3??100??03????20?10?z??3?003??
239. 某受力物体内应力场为：?x??6xy?c1x， ?y??32c2xy2，z??yz??zx?0，
试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、
c2、
c3。
解：
xy??c2y3?c3x2y，
8
? ? ??x??6y2?3c1x2;??y??y?y
??3c2xy?
??xy?x
??2c3y??yx?y
??3c2y2?c3x2由平衡微分条件：
??6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0??2c3xy?3c2xy?0?
??yx?y
???zy?z???zx??xz??z???0?x?x?z?c1?1???c2??2?c?3?3
思考与练习15
1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。
9
答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；
工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化；
对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；
最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变
应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，应变张量
I1、I2、I3也应是单值的，所以将I1、I2、I3称为应变张量不变量。
等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变变。
?1。等效应变又称广义应
应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量
应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。 位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。
2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？
答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成一
??x??ij???yx??zx??个应变张量，用ij表示，则
态。
?xy?xz???y?yz??zy?z???ij，
即可完整的表示受力物体内的应变状
3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？
答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。
4. 应变张量和应变偏张量有何关系？
答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：
（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用应变，则主应变张量为
?1、?2、?3表示主
??100????ij??0?20??00??3??
主应变可由应变状态特征方程
?3?I1?2?I2??I3?0
求得。
（2）存在三个应变张量不变量
I1、I2、I3，且
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