压轴题冲关系列(一)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(2015·辽宁沈阳一模)已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数． (1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
?1?(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a?1－?；
?
x?
(3)若在区间(1，e)上
f?x?
＞1恒成立，求实数a的取值范围． x－1
ax(1)解：函数f(x)＝aln x的导函数f′(x)＝， ∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2， ∴f′(2)＝＝2，解得a＝4.
2
a?1?(2)证明：令g(x)＝f(x)－a?1－?
?
x?
1??＝a?ln x－1＋?，
?x?
?11?则函数的导数g′(x)＝a?－2?. xx?
?
?11?令g′(x)＞0，即a?－2?＞0，解得x＞1，
?xx?
∴g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增． ∴g(x)最小值为g(1)＝0，
?1?故f(x)≥a?1－?成立．
?
x?
(3)解：令h(x)＝aln x＋1－x，则h′(x)＝－1， 令h′(x)＞0，解得x＜a.
当a＞e时，h(x)在(1，e)是增函数， 所以h(x)＞h(1)＝0.
当1＜a≤e时，h(x)在(1，a)上递增，(a，e)上递减， ∴只需h(e)≥0，即a≥e－1.
当a≤1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)≥0， ∵h(e)＝a＋1－e＜0不合题意． 综上，a≥e－1.
axx2y2
2．(2015·山东潍坊一模)椭圆2＋2＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x＋my＝3
ab
1
恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形
OMGN，其中G在椭圆C上，当12
≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．
解：(1)∵直线l：x＋my＝3恒过定点(3，0)， ∴椭圆的右焦点F2(3，0)，∴c＝3， ∵△F1PQ的周长为8， ∴4a＝8，解得a＝2， ∴b2
＝a2
－c2
＝1，
∴椭圆C的方程为x2
2
4
＋y＝1.
?(2)联立?y＝kx＋t，??x2
?4
＋y2
＝1，
化为(1＋4k2
)x2
＋8ktx＋4t2
－4＝0， 由Δ＝64k2t2
－4(1＋4k2
)(4t2
－4)＞0， 可得4k2
＋1＞t2
.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)， 则x8kt1＋x2＝－1＋4k2，
∵四边形OMGN是平行四边形， ∴x－8kt0＝x1＋x2＝1＋4k2，
y2t0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝kx0＋2t＝1＋4t2， 可得G?
?－8ktt?1＋4k2，21＋4k2???
，
??－8kt∵G在椭圆C上，∴?1＋4k2??2??2tk?2
4＋??1＋42??
＝1，
化为4t2
(4k2
＋1)＝(4k2
＋1)2
， ∴4t2
＝4k2＋1， ∴|OG|2
＝x2
2
0＋y0＝?
?－8kt?1＋4k2??2?＋??2t?1＋4k2??2?
2
2
＝4t?16k＋1?16t2
－3?4k2＋1?2＝4t2
＝4－34t2，
2
1
∵≤|t|≤1， 212
∴≤t≤1， 4
3??13??∴?4－2?∈?1，?，
4??4t??
∴|OG|的取值范围是?1，
??13??. 2?
2
3.(2015·内蒙古赤峰一模)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x＋ax－3)e(a为实数)． (1)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；
x?1?x(2)若存在两个不等实根x1，x2∈?，e?，使方程g(x)＝2ef(x)成立，求实数a的取值
?e?
范围．
解：(1)f′(x)＝ln x＋1， 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1
令f′(x)＝0，得x＝，
e
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) ?0，1? ?e???－ 单调递减 1 e0 极小值(最小值) ?1，＋∞? ?e???＋ 单调递增 1①当t≥时，在区间(t，t＋2)上f(x)为增函数，
e所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
1?1?②当0 ?1?在区间?，t＋2?上f(x)为增函数， ?e? 1?1?所以f(x)min＝f??＝－. e?e? (2)由g(x)＝2ef(x)，可得2xln x＝－x＋ax－3， x2 a＝x＋2ln x＋， x3 令h(x)＝x＋2ln x＋， 3 xh′(x)＝1＋－2＝ xx 23 ?x＋3??x－1? . 2 x3 x h′(x) h(x) h??＝＋3e－2， h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2. h(e)－h??＝4－2e＋<0. e 3 ∴实数a的取值范围为4 e 4．(2015·辽宁大连二模)已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，P为圆F1：(x＋1)＋y＝8上→→→→→ 一动点，点M满足(MP＋MF2)·F2P＝0，F1M＝λF1P(0≤λ≤1)． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)设点M坐标为(x，y)，求证：|MF2|＝2－2 x； 2 2 2 ?1，1? ?e???－ 单调递减 1 0 极小值(最小值) (1，e) ＋ 单调递增 ?1?1?e?e 3e ?1??? 2e 11 (3)过点F2作直线l交C于A，B两点，求＋的值． |AF2||BF2|→→→ 解：(1)因为点M满足(MP＋MF2)·F2P＝0， →→→→→2→2 ∴(MP＋MF2)·(MP－MF2)＝MP－MF2＝0， →→即|MP|＝|MF2|. →→又F1M＝λF1P， ∴F1，M，P三点共线，由题意知M在线段F1P上， ∴|F1M|＋|MP|＝22， →→ 又|MP|＝|MF2|， ∴|F1M|＋|MF2|＝22， ∴M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为22的椭圆， 所以M的轨迹C的方程为＋y＝1. 2 (2)证明：设M(x，y)，|MF1|＝?x－1?＋y， 又＋y＝1， 2 2 2 x2 2 x2 2 4 x2x2－4x＋4 ∴|MF1|＝?x－1?2 ＋1－2 ＝2 ＝ ?x－2?22＝2 2 |x－2|， ∵－2≤x≤2， ∴|MF2|＝2－ 2 2 x. (3)当直线l斜率不存在时，|AF|＝22|＝|BF22 ，∴ 1 |AF＋1＝22， 2||BF2|当直线l斜率存在时， 设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l与x2 2 2＋y＝1联立，得 (1＋2k2 )x2 －4k2 x＋2k2 －2＝0， 2 由韦达定理，得x4k1＋x2＝1＋2k2， 2 x2k－21x2＝1＋2k2，Δ>0恒成立． 由②问结论知，|AF2 2|＝2－2 x1， |BF2|＝2－2 2 x2， ∴ 1 1|AF＋1＝＋ 1 2||BF2| 2－ 22 x12－ 22 x222－ 2 ?x1＋x2?＝2 2－?xx1 1＋2?＋2x1x2 2 22－2?4k?＝2??1＋2k2?? 2－??4k2?1＋2k?1??2k2 －2 2?＋2·??1＋2k2???2 ＝22?1＋k?1＋k2 ＝22. 综上， 1 |AF|＋1|BF＝22. 22| 5