长沙理工大学高等数学竞赛试题（2010级适用）
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一、填空题（每题4分，共20分） 1.设f(x)?(x?1)(x?2)?(x?n)，则f'(1)? 。
(x?1)(x?2)?(x?n)1?1所确定，则在曲线y?f(x)上对应于的点y?x2.设函数y?f(x)由方程sin(xy)?x?0处的切线方程为 3.设f(x)由方程xef(y)d2y?eln29确定，其中f具有二阶导数，且f'?1，则2? 。
dxy4.设f(x)是连续函数，满足，则f(x)?3x?2?20f(x)dx?2，则f(x)? 。
5.设y?e2x?(1?x)ex是二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解，则
?2??2??2? 。
二、 极限与积分的计算（共40分）
1. 计算下列极限（每小题10分，共20分） ① lim(n???nnn????) 22222n?1n?2n?nex?e2x???enxe)x，其中n是给定的正整数。 ②求极限lim(x?0n2.计算下列积分（每小题10分，共20分） ①
1?sin6x?cos6xdx ②求积分
??0xsinxdx 21?cosx三、（10分）设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?0,0?f?(x)?1， 求证：[?10f(x)dx]??f3(x)dx
021四、设函数f(x)在[0，1]上连续，且
?10f(x)dx?0,?xf(x)dx?1，试证：
01⑴?x0?[0,1]，使得f(x0)?4；⑵?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。（本题10分）
五、讨论积分????xcosxdx的敛散性。（本题10分）
xp?xq（0，,）六、（10分）在区间内，试比较函数tan(sinx)与sin(tanx)的大小，并证明你的
2结论。
?
一、填空
10(?1)n?1[1?f'(y)]2?f''(y)23x?1. ； 2. y?2x?1；3. ?；4. ；5. 14. 233n(n?1)x[1?f'(y)]二、计算
nnn????)
n???n2?1n2?22n2?n2n1n1n1 =lim(???????)
n???12n1?()2n1?()2n1?()2nnnn1.①解：lim( =limn????11? ii?11?()2nnn = =
1?01?x2dx
1? 4eex?e2x???enx)} ②解：原式=limexp{ln(x?0xne(ln(ex?e2x???enx)?lnn} =exp{limx?0x =e(n?1)e2
662.①解：因为sinx?cosx?1?321sin2x=(1?3cos22x) 4442sec22xd(2x)tan2xdx??arctan()?C 原式=??sec22x?31?3cos22x2②解：
??0?xsinxxsinxxsinx2dxdx=+?01?cos2x??21?cos2xdx 1?cos2x? 令x???t，有
0(??t)sinxsinx?(?t)(??t)sint2 ?dx??dt?dt ?222??01?cost21?cosx21?cos(??t)???sinxxsinx2dx? =??2?01?cos2xdx 01?cos2x 所以
????0?2xsinxsinx?dx=??2dx???arctg(cosx)|02? 2201?cosx41?cosx?
三、证明：令F(x)?[?f(x)dx]2??f3(x)dx，则
00xxF?(x)?2?f(x)dx?f(x)?f3(x)?f(x)[2?f(x)dx?f2(x)]，
00xx再令?(x)?2?x0f(x)dx?f2(x)，则??(x)?2f(x)?2f(x)f?(x)?2f(x)[1?f?(x)]，
因为f(0)?0,f?(x)?0，所以当x?0时，f(x)?f(0)?0，
所以??(x)?0，?(x)??(0)?0，因此有F?(x)?F(0)?0，故F(1)?0， 从而有[?10f(x)dx]2??f3(x)dx。
01四、证明： ⑴ 使用反证法，即假设当x?[0,1]时，恒有f(x)?4成立，于是有
111?11?x?f(x)dx?x?f(x)dx?4x????0?2??02?02dx?1。 1111x?f(x)dx?1，4?x?dx?1。
0221?因此有
?10从而有
?10x?1?4?f(x)?dx?0。 2于是有f(x)?4，即f(x)??4，这显然与
?10f(x)dx?0矛盾，故?x0?[0,1]，使得
f(x0)?4为真。
⑵ 仍然使用反证法。
只需证?x2?[0,1]，使得f(x2)?4即可。这是显然的，因为若不然，则由f(x)在[0，1]上的连续性知，必有f(x)?4或f(x)??4成立，这与
?10f(x)dx?0矛盾，再由f(x)的
连续性及⑴的结果，利用介值定理即可证得?x1?[0,1]，使得f(x1)?4。
五、分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要
结论，其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。对于数学专业的来说必须要掌握。 解：首先注意到
?x?(1?p)xp?(1?q)xq?? ?p。 q?pq2x?x??x?x??
?x???0，从而当x充分大时，函数若max(p,q)?1，则当x充分大时，?pq??x?x?xx?0。 lim是递减的，且这时 pqpqx???x?xx?x又因
??Acosxdx?sinA?1（对任何A??），故????xcosxdx收敛。
xp?xq?xx???0若max(p,q)?1，则恒有?p，故函数在x??上是递增的。于q?pqx?x?x?x?是，?正整数n，有?2n???42n?xcosx2dx?2xp?xq?2n???42n???x2??dx ?2?p??q4xp?xq?
2??常数?0， ?pq8?????故不满足Cauchy收敛准则，因此?六、
解 设 f(x)?tan(sinx)?sin(tanx),则?xcosxdx发散。 pqx?xcos3x?cos(tanx)cos2(sinx)f?(x)?sec(sinx)cosx?cos(tanx)secx?.cos2(sinx)cos2xπππ当0?x?arctan时，0?tanx?,0?sinx?.222π由余弦函数在（0，）上的凸性有21tanx?2sinx3cos(tanx)cos2(sinx)?[cos(tanx)?2cos(sinx)]?cos.3322设?(x)?tanx?2sinx?3x，??(x)?sec2x?2cosx?3?tan2x?4sin2于是tanx?2sinx?3x,所以cosπ于是当x?(0,arctan)时，f?(x)?0,又f(0)?0,所以f(x)?0.2πππ当x?[arctan,)时,sin(arctan)?sinx?1.由于222ππtan(arctan)πππ22sin(arctan)????,2224ππ4?π21?tan(arctan)1?24π故?sinx?1.于是1?tan(sinx)?tan1.4ππ?当x?[arctan,)时,f(x)?0.22π综上可得,当x?（0,)时,tan(sinx)?sin(tanx).2tanx?2sinx?cosx,即cos(tanx)cos2(sinx)?cos3x.3x?0.2