2012～2013学年第二学期期中考试高二数学答案
一、填空题：
x2y212??1 5． ?0,1? 1． ? 2． y??8x 3．必要不充分 4．
22056． 6 7． 362 8．11． ?0,16 9． 10．①④
3 3?3?22?? 12． ??2,1? 13． 85 14． 3??8 2??1?cos2? …………………………2分 271?(?)9?1 …………………………4分 ?29?1又∵??(,?) ∴cos???．………………………7分
232二、解答题：
215．解：(1) ∵cos??(2)由(1)知：sin??1?cos由??(0,??1?(?)2?1322…………………………9分 3???3?)、??(,?)得（???）?（,） 2222742cos(???)??1?sin2(???)??1?()2??………………………11分
99sin??sin(?????)? sin(???)cos??cos(???)sin? …………13分
?7142221?． …………………………14分 ×(?)-(?)×3399316．解：（1）当a=1时，p：1?x?3 ……………………… 2分
q：2?x?3 ………………………4分
∵p?q为真 ∴x满足??2?x?3，即2?x?3 ………………………6分
1?x?3?（2）由?p是?q的充分不必要条件知，
q是p的充分不必要条件 ………………………8分 由p知，即A=?x|a?x?3a,a?0? ………………………10分
1
由q知，B=?x|2?x?3? 所以，a?2且3?3a ………12分 即实数a的取值范围是1?a?2 ………………………14分
17．解：（1）因为E、F分别是A1B,A1C的中点，所以EF//BC，又EF?面ABC，
BC?面ABC，所以EF//平面ABC ． …………7分
（2）因为直三棱柱ABC?A1B1C1，所以BB1?平面A1B1C1，BB1?A又A 1D，1D?B1C，所以A1D?平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD?平面BB1C1C ． ……………14分 18．解：f?(x)?2x?ax?1， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 （1）由题意：f?(2)?8?2a?1?0，解得a??
29． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 299经检验，a??符合题意，所以a的值为? ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
222（2）要使f(x)在(0,??)内为增函数，只需在(0,??)内有2x?ax?1?0恒成立
1a??(2x?)在(0,??)内恒成立， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即
x1而?(2x?)??22， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
x故a的取值范围是 [?22,??) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）由g(x)?xlnx，得g?(x)?lnx?1?0，x?1， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 e当x?(0,),g?(x)?0，g(x)单调递减，当x?(,1],g?(x)?0，g(x)单调递增，
1e1e则g(x)min?g()??21e1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 e由f?(x)?2x?ax?1，a?0,x?(0,1]，得f?(x)?0，f(x)在(0,1]上单调递增
f(x)max?f(1)?51?a， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 32511?a?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 32e由题意得f(x)max?g(x)min，即2
则a??210?， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 e3由已知a?0，故不存在实数a满足题意 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
x2y219．解：（1）设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0)，且a2=b2+c2.
ab由题意可知：b=1，c3. ……………2分 =a2解得a2=4. ……………4分
x2?y2?1. ……………5分 ∴ 椭圆C的标准方程为4（2）由（1）得Q(?2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x??6. 5666???x??,x??,x??,??????555由?2 解得：?或? ?x?y2?1?y?4?y??4.???55???4即A(?,), B(?,?)（不妨设点A在x轴上方）. ……………7分 则直线AQ的斜率kAQ?1，直线BQ的斜率kBQ??1. ∵ kAQ?kBQ??1，得 AQ?BQ.
64556545?. ……………9分 26②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y?k(x?)(k?0).
5∴ ?AQB?6?y?k(x?),??52222由?2消去y得：(25?100k)x?240kx?144k?100?0. ?x?y2?1??4……………10分
因为 点(-6,0)在椭圆C的内部，显然??0. 53
?240k2x1?x2??,?2?25?100k ……………11分 ?2?xx?144k?100.12?25?100k2?????????66因为 QA?(x1?2,y1), QB?(x2?2,y2)，y1?k(x1?)，y2?k(x2?)，
55????????所以 QA?QB?(x1?2)(x2?2)?y1y2
66?(x1?2)(x2?2)?k(x1?)?k(x2?) 55636?(1?k2)x1x2?(2?k2)(x1?x2)?4?k2 ……………13分
525144k2?10062240k2362?(1?k)?(2?k)(?)?4?k?0.
25?100k2525?100k2252?????????∴ QA?QB. 即?AQB?. ……………16分
2a20．解：（1）F?x??f?x??g?x??lnx??x?0?，
x1ax?aF'?x???2?2?x?0? ………………………2分
xxx∵a?0，由F'?x??0?x??a,???，∴F?x?在?a,???上单调递增．
由F'?x??0?x??0,a?，∴F?x?在?0,a?上单调递减． ………………………4分 ∴F?x?的单调递减区间为?0,a?，单调递增区间为?a,???．………………………5分 （2）F'?x??x?a0?x?3?， 2?xk?F'?x0??x0?a1?12?a??x?x恒成立 ……………7分 ?0?x?3???00?0?2x022??max121x0?x0取得最大值． ………………………8分 2211∴a?，∴amin?． ………………………10分
22当x0?1时，?（3）若y?g?121?2a?22的图象与y?f?1?x??ln?x?1?的图象?m?1?x?m??222?x?1?121x?m??ln?x2?1?有四个不同的根，亦即22恰有四个不同得交点，即
m?ln?x2?1??121x?有四个不同的根． ………………………12分 224
2令G?x??lnx?1???121x?， 222x2x?x3?x?x?x?1??x?1??x??则G'?x??2 x?1x2?1x2?1当x变化时，G'?x?、G?x?的变化情况如下表：
x G'?x? G?x? (??,?1) ＋ ?1 0 极大值 (?1,0) － 0 0 极小值 (0,1) ＋ 1 0 极大值 ?1,??? － ? ? ? ? 由表格知：G(x)极小值?G(0)?1，G?x?极大值?G?1??G??1??ln2?0 ……14分 211?1??可知，当m??,ln2?时，y?G?x?与22?2?画出草图和验证G?2??G??2??ln5?2?y?m恰有四个不同的交点．
∴当
?1?m??,ln2?时，
?2??2a?y??g2???x?1??1m?12?x?2的m图象与
12y?f?1?x2??ln?x2?1?的图象恰有四个不同的交点． ……………………16分
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