淋雨数学建模
摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三
种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹
c来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角?满足tan??av?usin?时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当时，淋雨量最小。 关键词：淋雨 直线行走
一 问题重述
人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB编程实现。
假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为vm=5 m/s，雨速u=4m/s，降雨量为w=2cm/h。
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为?,问跑步速度v为多大？淋雨量最少。 二 问题的分析
人在雨中行走时可能出现以下三种情形：
情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）
图 1
情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为?，此
时后背淋不到雨（如图2所示）
图2
情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）
图 3
我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角?、α）对总淋雨量的影响。 三 合理的假设
3.1 将人体看成一个长方体； 3.2 雨速为常数且方向不变； 3.3 降雨量为一定值；
3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内； 3.5 符号的假定:
a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚
d: 跑步距离 v: 跑步速度 vm: 跑步最大速度 w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量
?: 雨迎面吹来与人的夹角 ?: 雨背面吹来与人的夹角
s：有效淋雨面积 v：以人为参考系时的相对雨速 四 模型的建立
我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为 Q?stw。若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为u??u，则降雨量相对变
化为
u??uu??u。若雨速不变，降w，从而可求得此时的淋雨量为 Q?stwuu雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为?，那么此时的淋雨量为
Q?stwcos?。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨
量如下：
4.1当雨垂直降落时
有效淋雨面积：s?2ab?2ac?bc 淋雨时间：t?d v总淋雨量Q?stw?(2ab?2ac?bc)4.2 当雨迎面吹来时
dw （1） v 由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s1，迎面部分面积为s2，则s1?bc,s2?ab，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：t?d v雨速垂直分量：ucos?
雨速水平分量：usin?，且方向与v相反，故相对雨速v=usin??v 顶部淋雨量：Q1?s1twcos??bcdwcos? vvdusin??v迎面淋雨量：Q2?s2tw?abw
uvu所以总的淋雨量为：
Q?Q1?Q2?bcduw?cos??abdw?(usin??v)bdwcucos??a(usin??v)? （2）
uvuv4.3当雨从背面吹来时
同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s3，背面部分面积为s4，则s3?bc,s4?ab，分别计算其淋雨量如下：
淋雨时间：t?d v雨速垂直分量：ucos?
雨速水平分量：usin?，方向与v相同，故相对雨速v=usin??v 顶部淋雨量：Q3?s3twcos??bcdwcos? vvabdw|usin??v|背面的淋雨量： Q4?s4tw?
uuv总淋雨量为：
Q?Q3?Q4??bdwcucos??a(usin??v)bdwu(ccos??asin?)?av?,v?usin???a?? （3） ?uvuv??bdwcucos??a(v?usin?)?bdwu(ccos??asin?)?av,v?usin???b??vuv?u五 模型的求解
运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q与行走速度v的具体关系如下： 5.1当雨垂直降落时
d 由（1）式知总淋雨量Q?stw?(2ab?2ac?bc)w，易知 v越大，Q值越
v小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当v?vm时，Q最小； 5.2当雨迎面吹来时
对（2）式关于v求导可得：
?Qbdwcucos??ausin????0，故Ｑ关于2?vuvv是单调递减函数，故此种情况下，当v?vm时，Q最小； 5.3当雨从背面吹来时
对（3）式，分以下两种情况讨论如下：
1? v?usin?
此时对（a）式关于v求导可得
?Qbdwcucos??ausin????0 ，可知v2?vuv越大，淋雨量Q越小，又因为v?usin?，故知当v?usin?时，Q最小； 2? v?usin?
当ccos??asin??0，对（b）关于v求导
?Qbdwu(ccos??asin?)???0，2?vuv故Ｑ关于v是单调递减函数，同样可得，当v?vm时，Q最小；
当ccos??asin??0，对（b）关于v求导
?Qbdwu(ccos??asin?)???0，?vuv2故Ｑ关于v是单调递增函数，又v?usin?，故v?usin?时，Q最小。 六 结果分析
由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小
c且此时夹角?满足tan??时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当
av?usin?时，淋雨量最小。
七 模型的检验
现给出数据如下：
a?1.5m,b?0.5m,c?0.2m,d?1000m,vm?5ms,u?4ms,w?2cmh 7.1 当雨垂直降落时 Qmin?(2ab?2ac?bc)7.2 当雨迎面吹来时 ??0：Q?dw?0.002L vmbdwcucos0?a(usin0?vm)bdwcu?avm??0.00116L
uvmuvmbdwcucos30??a(usin30??vm)?0.00155L
uvmc，故v?usin??2ms时，淋雨最少。 a ??30?：Q?7.3 当雨从背面吹来时 ??30?时，tan?? 此时：Q?0.00101L 八 优缺点分析
优点：在模型中我们考虑了雨从不同方向吹来，结合了风向等因素，考虑了三种情况下人的总淋雨量，并以人为参照物优化了模型。
缺点：此模型只是将人与雨的方向在同一平面内考虑的，如果在不同的平面内，则雨的方向应该在三维空间中考虑。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星等 《数学模型》(M) 第三版 高等教育出版社 2003年