运用数学方法解决物理问题
(2016年3月23日)
荥阳市第二高级中学----陈玉东整理
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．
本文中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．如下表：
名称 内 容 1.三角函数求极值：y(θ)=cosθ+μsinθ，ymax=1+μ 极限法 4ac-b2.二次函数求极值：y=ax+bx+c，ym=(a＞0时，有ymin；a＜0时，有ymax) 4a2223.均值不等式：a+b≥2ab( a＞0 ,b＞0), a+b+c≥3abc( a＞0 ,b＞0, c＞0) 1.对称点的性质、镜像对称 2.两点间的直线距离最短 几何法 33.正弦定理： = = ；余弦定理：a=b+c+2bccosα sinαsinβsinθabc2224.全等、相似三角形的特征 5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程 1.直线型图象：y=kx+b 图象法 2.正(余)弦曲线型图象 3.抛物线型图象 4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等，如闭合电路中各物理量间关系 1.等差数列：其和Sn= 数列法 n(a1+an)2 = na1+n(n-1)d(d为公差) 2a1(1-qn)n2.等比数列：Sn= , a1为首项，q为公比，当q＜1时，q → 0. (1-q)无穷小等分，往往对其中的一个微元作处理. 对于一个复杂的过程由特殊到一般，归纳成某一通式，求解. 222222微元法 数学归纳法 方程法 三角函数变换 sinθ+cosθ=1，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=2cosθ-1=1-2sinθ=cosθ-sinθ 直线方程，一元二次方程的判别式，椭圆方程，二次函数，圆方程等 另外还有比值法、不等式法
你能看出在以下题目中分别用
到了哪些特殊的数学方法吗？
1、物体A、B、C均静止在同一水平面上,它们的质量分别为mA、mB、mC,与水平面的动摩擦因数分别 为μA、μB、μC,用平行于水平面的拉力F分别拉物体A、B、C,所得加速度a与拉力F的关系如图所示,A、
a B两直线平行,则以下关系正确的是( )
A A mA＜mB＜mC B C B mA＜mB=mC
C μA=μB=μC O F D μA＜μB=μC
2、 [2007年高考上海·8·] 物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列7-10所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是（ ）
3、[2008年高考海南卷] 一质子和中于是由更基本的粒子即所谓“夸克”组成的．两个强作用电荷相反（类似于正负电荷）的夸克在距离很近时几乎没有相互作用（称为“渐近自由”）；在距离较远时，它们之间就会出现很强的引力（导致所谓“夸克禁闭”）．作为一个简单的模型，设这样的两夸克之间的相互作用力F与它们之间的距离r的关系为：
? 0, 0＜r＜r1?F???F0, r1≤r≤r2? 0, r＞r?2
式中F0为大于零的常量，负号表示引力．用U表示夸克间的势能，令U0＝F0(r2—r1)，取无穷远为势能零
点．下列7-11所示U－r图示中正确的是 （ ）
4、[2008年高考四川卷]一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间t0滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是
F v s E O A．
t0 t O B．
t0 t O C．
t0 t O D．
t0 t
5、（2012年湖北）如图4所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为
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45°，A点到地面的距离为1 m，已知重力加速度g取10 m/s，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8 m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝AB，水平速度v0至少为 ( )
A．1 m/s B．2 m/s C．2.5 m/s D． √5m/s
6、[2008年高考四川延考卷]两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图7-6所示。己知小球a和b的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 ( )
A．45° B．30°C．22.5° D．15°
7、表面光滑，半径为R的半球固定在水平面上，球心O的正上方O处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳
两端各系一个小球挂在定滑轮上，如右图所示，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳子的长度分别为L1=2.4R和L2=2.5R，则这两个小球的质量之比m1:m2为（不计球的大小） A、24：1 B、25：1 C、24：25 D、25：24
8、如图所示，电源电动势和内电阻分别为E、r，在滑动变阻器的滑片P由 a向b移动的过程中，下列各物理量变化情况为
A、电流表读数一直减少 B、R0的的功率先减小后增大 C、电源输出功率先减小后增大 D、电压表读数先增大后减小
9、 太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从 的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg(T/TO)，纵轴是lg(R/RO);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（ ）
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10、[2008年高考全国Ⅱ卷·15·]一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下，出射光线侧移距离最大的是 ( )
A．红光以30°的入射角入射 B．红光以45°的入射角入射 C．紫光以30°的入射角入射 D．紫光以45°的入射角入射
11、[2008年高考全国Ⅰ卷·21·]一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则光线从0o逐渐增大至90o的过程中 ( )
A．t1始终大干t2 B．t1始终小于t2
C．t1先大干后小于t2 D．t1先小于后大于t2
12、(10分)甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播，波速均为?=25 cm／s。两列波在t=0时的波形曲线如图所示。求 (i)t=0时，介质中偏离平衡位置位移为l6 cm的所有质点的x坐标； (ii)从t=0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为－16 cm的质点的时间。
13、一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。 （1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？
s v 开（2）小船渡河的最小位移是多少？
v合
v水
a
14、若电源的电动势为E，内阻为r，外电阻为R。请运用数学方法推导出电源输出功率最大时R与r的关系。
15、给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？
16、一小球从5m高处自由下落，如果小球每次与地面碰撞后速度均变为碰前的7/8，不计小球与地面
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碰撞的时间，不计空气阻力，且g =10m/s.试求出从小球开始下落到停止运动的时间和路程。
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17、一辆汽车从静止开始以1m/s的加速度前进，车后相距s0=25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？
18、（2010浙江理综22题）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系； （2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离Smax为多少？ （3）若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
19、在电视节目中我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图12所示.运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为m=70 kg，
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滑板的总面积为S=0.12 m，水的密度为ρ=1.0×10 kg/m.理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角（板
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前端抬起的角度）为θ时，水对板的作用力大小为N＝ρSvsinθ，方向垂直于板面.式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积，求为了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度.
20、【2012年大纲卷子】一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知：山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为 y=
x22h
，探险队员的质量为
m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1） 求此人落到坡面时的动能；
（2） 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？