11
综上所述：当k＞0时，f(x)的增区间为(－k，＋∞)，减区间为(－∞，－k).
11
当k＜0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)，减区间为(－k，＋∞).
例6.求函数f(x)＝x－alnx (a∈R)的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)
ax－a
f ′(x)＝1－x＝x 当a≤0时，f ′(x)≥0，则f(x)的增区间为(0，＋∞)
当a＞0时，令f ′(x)＞0，则x＞a，令f ′(x)＜0，则0＜x＜a， ∴f(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a).
综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0，＋∞).
当a＞0时，f(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a). 重要方法二 一次函数型(一)
11
当导函数可表示为常见已知函数，(例如：ex，x＋，，x2－2x)与一个常参数(例
xx
1
如：a，2k，a，－a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论.
重要方法三 一次函数型(二)二级分类法
当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法 ⑴判断最高次项系数的正负；
⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小. 3.主导函数为“二次函数”型 例1.求函数f(x)＝x2－2x＋alnx的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)
－2x＋aa－(－2x2＋2x)a2x2
f ′(x)＝2x－2＋x＝＝
xx
1
当a≥2时，f ′(x)≥0，则f(x)的增区间为(0，＋∞)
1－1－2a1＋1－2a1
当0＜a＜2时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x＝ 2
221－1－2a1＋1－2a
令 f ′(x)＞0，则0＜x＜，或x＞
22 令 f ′(x)＜0，则
1－1－2a1＋1－2a＜x＜， 22
1－1－2a1＋1－2a
∴f(x)的增区间为(0，)和(，＋∞) 22
11
1－1－2a1＋1－2a
减区间为(，)
22当a≤0时，令f ′(x)＞0，则x＞
1＋1－2a
， 2
令f ′(x)＜0，则0＜x＜
1＋1－2a
， 2
∴f(x)的增区间为 (
1＋1－2a1＋1－2a
，＋∞)，减区间为(0，) 22
1
综上所述：当a≥2时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，
1－1－2a1＋1－2a1
当0＜a＜2时，f(x)的增区间为(0，)和(，＋∞)
22
1－1－2a1＋1－2a
减区间为(，)
22
1＋1－2a1＋1－2a
当a≤0时，f(x)的增区间为 (，＋∞)，减区间为(0，)
22ex
例2.求函数f(x)＝(k＞0)单调区间.
x2＋k
解：f(x)的定义域为R
ex(x2＋k)－2xexex(x2－2x＋k)ex[k－(－x2＋2x)]f ′(x)＝＝＝ (x2＋k)2(x2＋k)2(x2＋k)2当k≥1时，f ′(x)≥0，f(x)的增区间为R
当0＜k＜1时，令f ′(x)＝0，则x1＝1－1－k，x2＝1＋1－k 令 f ′(x)＞0，则0＜x＜1－1－k，或x＞1＋1－k 令 f ′(x)＜0，则1－1－k＜x＜1＋1－k， ∴f(x)的增区间为(0，1－1－k)和(1＋1－k，＋∞)
减区间为(1－1－k，1＋1－k) 综上所述：当k≥1时，f(x)的增区间为R，
当0＜k＜1时，f(x)的增区间为(0，1－1－k)和(1＋1－k，＋∞)
减区间为(1－1－k，1＋1－k)
12
2
例3.讨论函数f(x)＝x－x＋a(2－lnx)的单调性. 解：f(x)的定义域为(0,＋∞)
2x＋x－a
－ax＋22ax2
f ′(x)＝1＋x2－x＝x2＝x 当a≤22时，f ′(x)≥0，f(x)的增区间为(0,＋∞)
a－a2－8a＋a2－8当a＞22时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝
22 令 f ′(x)＞0，则0＜x＜
a－a2－8a＋a2－8，或x＞ 22
a－a2－8a＋a2－8
令 f ′(x)＜0，则＜x＜，
22∴f(x)的增区间为(0，
a－a2－8a＋a2－8
)和(，＋∞) 22
a－a2－8a＋a2－8
减区间为(，)
22
综上所述：当a≤22时，f(x)的增区间为(0,＋∞)， 当a＞22时，f(x)的增区间为(0，
a－a2－8a＋a2－8
)和(，＋∞) 22
a－a2－8a＋a2－8
减区间为(，)
22
重要方法四 二次函数型(一)
11
当导函数可表示为常见已知函数(例如：ex，x＋x，x，x2－2x)与一个常参数(例1
如：a，2k，a，－a)的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参数进行分类讨论. 例如：2x2－2x＋a，x∈(0，＋∞) 可化为a－(－2x2＋2x) x2－2x＋k，x∈R k－(－2x2＋2x)
2
x2－ax＋2，x∈(0，＋∞) x＋x－a
ex
例4.求函数f(x)＝(x－k)2ek的单调区间.
13
解：f(x)的定义域为R
1ex1ex
f ′(x)＝[2x－2k＋k(x2－2kx＋k2)]ek＝k((x2－k2)ek 当k＞0时， f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)，减区间为(－k，k). 当k＜0时， f(x)的增区间为(k，－k)，减区间为(－∞，k) 和(－k，＋∞). 综上所述：当k＞0时， f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)，
减区间为(－k，k).
当k＜0时， f(x)的增区间为(k，－k)，
减区间为(－∞，k) 和(－k，＋∞).
例5.求函数f(x)＝lnx＋ax2＋x(a∈R)的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)
2ax2＋x＋11
f ′(x)＝＋2ax＋1＝ xx
当a≥0时，f ′(x)＞0，则f(x)的增区间为(0，＋∞).
－1＋1－8a－1－1－8a
当a＜0时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝ 4a4a(此处x1＜0＜x2)，故将x1舍去.
1
(注意：此处x1·x2＝2a＜0，可知一根为正，一根为负)
－1－1－8a－1－1－8a 令f ′(x)＞0，则0＜x＜，f(x)的增区间为(0，)
4a4a 令f ′(x)＞0，则x＞
－1－1－8a－1－1－8a
，f(x)的减区间为(，＋∞)
4a4a
综上所述：当a≥0时， f(x)的增区间为(0，＋∞).
－1－1－8a
当a＜0时， f(x)的增区间为(0，)，
4a－1－1－8a
减区间为(，＋∞).
4a
1
例6.求函数f(x)＝a(x－x)－2lnx的单调区间.
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)
－2x＋aa2ax2
f ′(x)＝a＋x2－x＝
x2
当a≤0时，f ′(x)＜0，则f(x)的减区间为(0，＋∞). (注意：此处ax2＜0，－2x＜0，a＜0，故ax2－2x＋a＜0) 当a＞0时，由ax2－2x＋a＝0，得△＝4－4a2
⑴当△≤0，即a≥1时，f ′(x)≥0，∴f(x)的增区间为(0，＋∞)
1－1－a21＋1－a2
⑵当△＞0，即0＜a＜1时，令f ′(x)＝0，则x1＝，x2＝
aa
14
1－1－a21＋1－a2
令f ′(x)＞0，则0＜x＜或x＞
aa令f ′(x)＜0，则
1－1－a21＋1－a2＜x＜ aa
1－1－a21＋1－a2
)和(，＋∞) aa
∴f(x)的增区间为(0，
1－1－a21＋1－a2
减区间为(，)
aa
综上所述：当a≤0时， f(x)的减区间为(0，＋∞). 当0＜a＜1时， f(x)的增区间为(0，
1－1－a21＋1－a2
)和(，＋∞) aa
1－1－a21＋1－a2
减区间为(，)
aa
当a≥1时， f(x)的增区间为(0，＋∞) 例7.求函数f(x)＝alnx＋
x－1
的单调区间. x＋1
解：f(x)的定义域为(0，＋∞).
af ′(x)＝x＋a(x＋1)2＋2xax2＋(2a＋2)x＋a2
＝＝ (x＋1)2x(x＋1)2x(x＋1)2
⑴当a≥0时，f ′(x)＞0，∴f(x)的增区间为(0，＋∞).
(注：此处因a≥0，x＞0，所以ax2＞0，(2a＋2)x＞0，a＞0，即f ′(x)＞0) ⑵当a＜0时，由ax2＋(2a＋2)x＋a＝0，得△＝8a＋4
1
①当△≤0即a≤－2时，f ′(x)＜0，∴f(x)的减区间为(0，＋∞).
1
②当△＞0即－2＜a＜0时，令f ′(x)＝0，
－(a＋1)－2a－1－(a＋1)＋2a－1
则x1＝，x2＝
aa
2a＋22
(注：此处由x1＋x2＝1＞0，x1·x2＝－a＝－2－a＞0，则x1＞0，x2＞0)
令f ′(x)＞0，则0＜x＜
－(a＋1)－2a－1－(a＋1)＋2a－1
或x＞
aa
15