课时作业55 最值、范围、证明问题
1．已知点F为抛物线E：y＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
2
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
pp
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛
22物线E的方程为y＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y＝4x上，所以m＝±22. 由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．
2
2
?y＝22－
由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1)．由?2
?y＝4x，
12
得2x－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，
2
，
?1?从而B?，－2?.又G(－1,0)， ?2?
22－022所以kGA＝＝，
2－－3－2－022
kGB＝＝－，
13－－2
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F
1
为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
x2
2．(2017·湖北黄冈一模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y＝1的两个焦点，椭圆
2x2
C2：＋y＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭
2圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.
2
2
(1)求证：k·k′为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值．
解：(1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(－1,0)，F2(1,0)．而1点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，λ＝.
2
设点P的坐标是(x0，y0)，
y0y0y0
∵直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，∴kk′＝·＝2①
x0＋1x0－1x0－1x021
又点P是椭圆C2上的点，故＋y0＝，②
221
联立①②两式可得kk′＝－，即k·k′为定值．
2
(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组y＝＋，??2?x2
＋y＝1，??2
2
2
212
由方程组得(1＋2k)x＋4kx＋2k－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2222
4k2k－2则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 1＋2k1＋2k
|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·22＋k
＝2
1＋2k
2
22
＋x2
2
－4x1x2
. 2
同理可求得|CD|＝则|AB|·|CD|＝
2＋4k21＋2k
4
2
2
， ＋5k＋
22
＋2k
1?1＋?9
??≤， 1＝42?22＋4k＋4??k?当且仅当k＝±
2
时等号成立． 2
9
故|AB|·|CD|的最大值等于.
2
3．已知以A为圆心的圆(x－2)＋y＝64上有一个动点M，B(－2,0)，线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|＋|FG|的取值范围．
解：(1)连接PB，依题意得|PB|＝|PM|，所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8，所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a＝4，c＝2，则b＝23.
xy
所以轨迹E的方程是＋＝1.
1612
(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|＋|FG|＝6＋8＝14；
当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，E(x2，y＝－，??2
y2)，联立?xy2
＋＝1，??1612
2
2
2
2
2
12
整理得(3＋4k)x－16kx＋16k－48＝0，
2222
16k16k－48
∴x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k∴|DE|＝＝1＋k·＝
＋k23＋4k
22
2
＋k
1
2－x2
2
＋x2－4x1x2
，
＋k2
4＋3k＋3k
22
同理可得|FG|＝∴|DE|＋|FG|＝2
，
2
＋
2
＋4k
2
，
设t＝k＋1，则t>1，
3
168
所以|DE|＋|FG|＝，
t－112＋2
t
t－11
当t>1时，易证y＝2在(1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0 t4＋|FG|的取值范围是? ?96，14?.综上，|DE|＋|FG|的取值范围是?96，14?. ??7? ?7??? yx2 1．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与抛物线C2：x＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线 abC2的准线l与椭圆C1有一坐标是(2，－2)的交点． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB → → 与椭圆C1分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围． p2 解：(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以＝2，p＝4，所以抛物线C2的方程是x 2＝8y. yx 由题意知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的焦点是(0，－2)，(0,2)，所以c＝2,2a＝2＋0 abyx ＋2＋16＝42，所以a＝22，所以b＝2，所以椭圆C1的方程是＋＝1. 84 (2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，抛物线方程可以化12111 为y＝x，得y′＝x，所以直线AP的方程为y－y1＝x1(x－x1)，所以－2－y1＝x1t－2y1， 8444111 即y1＝tx1＋2，同理，直线BP的方程为y2＝tx2＋2，所以直线AB的方程为y＝tx＋2， 444将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得，(t＋32)x＋16tx－64＝0，则Δ＝256t＋256(t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 →→2 t?－16t－64t?＋32)>0，且x3＋x4＝2，x3x4＝2，所以OE·OF＝x3x4＋y3y4＝?1＋?x3x4＋(x3＋x4) t＋32t＋322?16?－8t＋64320 ＋4＝2＝2－8. t＋32t＋32 320因为0<2≤10，所以OE·OF的取值范围是(－8,2]． t＋32 →→ 2 4 xy 2．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为22. ab 22 (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B. k′ (ⅰ)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值； k(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值． 解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知2a＝4,2c＝22， 所以a＝2，b＝a－c＝2. xy 所以椭圆C的方程为＋＝1. 42(Ⅱ)(ⅰ)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)． 由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)， 2m－mm 所以直线PM的斜率k＝＝. x0x0－2m－m3m 直线QM的斜率k′＝＝－. x0x0k′k′ 此时＝－3.所以为定值－3. kk(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线PA的方程为y＝kx＋m， 直线QB的方程为y＝－3kx＋m. y＝kx＋m，??22 联立?xy ＋＝1，??42 2 2 2 2 2 2 整理得 (2k＋1)x＋4mkx＋2m－4＝0. 2 5