第一学期第二十三次课
第四章 §3线性映射与线性变换
4.3.1线性映射的定义
定义 设U,V为数域K上的线性空间，?:U?V为映射，且满足以下两个条件： i）、??(??)???()???(,()??,?)?ii）、?(?k)???k(,()U；
，
??,?Uk)?K则称?为（由U到V的）线性映射，
由数域K上的线性空间U到V的K的线性映射的全体记为HomK(U,V)，或简记为Hom(U,V)。
定义中的i）和ii）二条件可用下述一条代替：
?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K)。
例 Mm?n(K)是K上的线性空间，Ms?n(K)也是K上线性空间，取定一个K上的
s?m矩阵A，定义映射
?:Mm?n(K)?Ms?n(K),x?AX.
则?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的线性映射。
例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体，它是?上的线性空间，令
U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).
再令
?:则?是由U到V的一个线性映射。
定义 设?:U?V是线性映射
U?V,f(x)?AX.
i）、如果?是单射，则称?是单线性映射（monomorphism）； ii）、如果?是满射，则称?是满线性映射（endmorphism）；
iii）、如果?既单且满，则称?为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说U与V是同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构映射；
iv）、?的核（kernel）定义为ker??{??U|?(?)?0}；
v）、?的像（image）定义为im?={??V|???U,s.t?(?)??}，也记为?(U)；
命题 ker?和im?是V的子空间。 证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi）、?的余核定义为coker??V/im?。
命题 线性映射f是单的当且仅当kerf?{0}，f是满的当且仅当cokerf?{0}。 定理（同态基本定理） 设f:U?V是数域K上的线性空间的满线性映射，则映射
?:U/kerf?V,
??kerf?f(?).是同构映射。
证明 首先证明?是良定义，即若???'?U/kerf，则??()???()'。由于???'，
'?)?f(?')?f?()?f?(，即')存在??kerf，使得???'??。于是f(?)?f(??。 ?(?)??(?') 再
证
明
?是线性映射。
??,??U/ker?，
k,l?K，
?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?)。
易见?是满射，且有V?imf。只要再证明?是单射即可，即证明ker??{0}。设
??ker?，则?(?)?f(?)?0，于是??kerf，即有??0。证毕。
命题 设?:U?V是线性映射，dimU?n，则下述三条等价： i）、?单；
ii）、?将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组；
di(?)U?n。 iii）、m 证明
i）?ii）若
?1,?2,?,?t?V线性无关，则令
由线性映射的定义，?(k1?1?k2?2???kt?t)?0。k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0，
?单，于是k1?1?k2?2???kt?t?0，则k1?k2???kt?0，ii）成立；ii）?iii）若
取U的一组基?1,?2,?,?n，则由已知，
?(?1),?(?2),?,?(?n)线性无关，而im?中任意
?im，于是
向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)线性表出，于是?(?1),?(?2),?,?(?n)构成im?的一组
?r?基，iii）成立；iii）?i）由同态基本定理知U/kedimU?dimker??dimim??dimker??0，即有ker??{0}。证毕。