八年级数学竞赛第二讲 教师讲义
八年级数学竞赛第二讲
质数和完全平方数
一．质数与合数
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数（素数），如果能被1和本身 以外的自然数整除，就叫做合数.特别注意1即不是质数也不是合数，叫做单位数.
有时候质数的相反数也叫质数，合数的相反数也叫合数，不过，在本讲中，如没有特别说明，都是指正的质数和正的合数.
例1. 求出符合以下条件的所有质数：这样的质数既是两个质数的和，又是两个质数的差. 分析：设所求质数为p，因为p是两个质数的和，所以p必是奇数，于是必有
p?2?s，s是奇质数；又因为p是两个质数的差，所以必有p?q?2，q是奇质
数，由此看来，p?2,p,p?2是三个差为2的连续奇（质）数，其中必有一个是3 的倍数，而3是最小的奇质数，故p?5.
例2. （1996年希望杯初二赛题）三个质数a,b,c的乘积等于这三个质数和的5倍，则
a2?b2?c2?_____.
分析：abc?5?a?b?c?，所以有一个质数是5，不妨设a?5，于是有
5bc?5b?5c?25，得出?b?1??c?1??6，又6?2?3?1?6，不妨设
?b?1?2?b?1?1 ① 或 ② .由①得b?3,c?4，不合题意.由②得 ???c?1?3?c?1?6b?2,c?7，符合题意.故所求的三个质数是5，2，7.于是a2?b2?c2?78.
例3. 质数中无最大数，也就是说，不存在最大的质数.试证之.
分析：可以用反证法.若有最大的质数，设为p，观察从2到p的所有质数乘积 加1的和式n?2?3?5???p?1，因为质数2，3，5，…，p中没有一个是 n的因数，若n是一个合数，它肯定有质因数，但不在2，3，5，…，p中，故 n的质因数比p还要大，与假设矛盾；若n是一个质数，易知n大于p，也与
假设矛盾.
p例4. 求证：若正整数p使得2?1是一个质数，则p一定是质数.
分析：利用公式a?b??a?b?ann?n?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1
?
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二．质因数的分解
我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因 数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：
算数基本定理 任意一个大于1的整数N都可以分解为质因数的乘积.如果不考 虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：
?n?1?2 ? ? ? 12n
N?pp?p在上式中，p1,p2,?,pn都是质数且互不相同，?1,?2,?,?n都是正整数.这种分解式称为 正整数N的标准分解式.例如540的标准分解式是540?2?3?5.
推论1 如果对于大于1的整数N，其标准分解式如???式所示，那么N共有 正约数??1?1???2?1????n?1?个，这些约数包括1和N本身.
推论2 如果对于大于1的整数N，其标准分解式如???式所示，那么N是一 个完全平方数的充要条件是?1,?2,?,?n都是偶数，即N的正约数个数是奇数.
质数有如下整除性质：
（1）p是质数，a,b都是整数，如果pab，则pa或pb，特别地pa时，pa； （2）p1,p2,?,pn是不同的质数，a是整数，如果p1a，p2a，则p1p2?pna. ?,pna，
例5. 不大于200的正整数中，有哪些数恰好有15个不同的正约数（包括1和本身）. 分析：由推论1，考虑这个约数个数是怎么算来的.15?1?15?3?5,因此有两种
1424 形式：N?p或N?pq，p,q均为质数且p?q.对于第一个知不成立，第二
222个取q?2,则p可取3，取q?3,则p取任何质数都将超过200. 例6. 求360?473和172?361这两个积的最大公约数和最小公倍数. 分析：先对两个数进行质因数分解.
,100010001,1000100010001,?中没有质数. 例7. 证明在无限整数序列10001 分析：要证明一个数为合数，即证明它有除了1和本身以外的因数，
只需证明它能表示成两个大于1的整数的乘积即可，
以前的专题曾经涉及到一些特别的数，比如：10001?137?73.
,100010001,1000100010001,?可以改写成 序列10001 1?10,1?10?10,?根据例题4所用的公式知其通项为
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104n?1an?4，n?2,3,?
10?1n?2时即10001已经不需再证，因此只需证明n?3的情况.
当n为偶数时，令n?2k，k?2,3,?，则a2k据公式是两个大于1的整数相乘，故为合数. 当n为奇数时，令n?2k?1，k?1,2,?
108k?1108k?1108?1?4?8?4，根 10?110?110?1则 a2k?1数的乘积.
104?2k?1??1102?2k?1??1102?2k?1??1???.同样地根据公式知是两个整42210?110?110?1例8. 求所有的质数p，使得4p2?1和6p2?1也都是质数.
分析：对此无从下手，可以先从最小的质数验算，寻找灵感.
经验算，5是满足条件的一个质数.因此估计只有5是所求，从而可以将整数按照 模5来分类：
当p?5k时，要使其为质数，只能k?1，而p?5满足条件；
2当p?5k?1时，54p?1；
??2当p?5k?2时，56p?1；
???2当p?5k?3时，56p?1；
??2当p?5k?4时，54p?1；故本题只有一解p?5.
?
例9. 在100到200之间有3个连续的自然数，其中最小的数是3的倍数，中间的数是5
的倍数，最大的数是7的倍数.试求这三个数中的最大数.
分析：在100到200之间能被7整除的数依次是：105，112，119，126，133，140，
147，154，161，168，175，182，189，196.其中只有161?1?160能被5整除，而 159也能被3整除，故所求的三个数是159，160，161，最大的是161.
三．完全平方数
如果N是整数，且N?M，则称整数M为完全平方数（简称平方数），平方数M有 以下常用性质：
（1） 若M是整数，则平方数M与?M?1?之间不存在其他平方数，即两个连续平方数
222之间任何一个数都不是平方数；
（2） 平方数M的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；
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（3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；
（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必
为奇数；
（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数； （6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；
除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.
例10. 证明：4个连续正整数之积不可能是完全平方数. 分析： S?N?N?1??N?2??N?3??N2?3N??2?2N2?3N. 则
???N2?3N?2?S?N2?3N?1，两个连续的完全平方数之间不存在第三个平方数.
??2
例11. 将七个连续奇数1，3，5，7，11，13，17任意排成一列，得到一个十位数.试问在
这些自然数里有平方数吗？若有，请找出一个.若没有，请说明理由. 分析：任意一个数都是3的倍数，但不是9的倍数，故没有. 例12. [1985年上海市初三数学竞赛题]已知直角?ABC的两条直角边的长a,b均为整数，
且a是质数，若斜边长也是整数，求证：2?a?b?1?是完全平方数.
证明：设斜边长为c，?a2?c2?b2??c?b??c?b?，a是质数，c?b?c?b，
?c?b?a22所以?，消去c可得2b?a?1，于是有
?c?b?122?a?b?1??2a?2b?2?2a?a2?1?2?a2?2a?1??a?1?.
??由此命题得证.
习题（二）
1． 在不大于50的正整数中，求出恰有5个正约数的自然数.
分析略.
2． 在三个连续的正整数中，其中最小的数能被3整除，中间的数能被5整除，最大的数能
被7整除，求出符合以上条件的最小的三个连续的自然数.试问：有这样三个最大的连续自然数吗？
分析：如例题9，只需再到不大于100的正整数中去找即可，54，55，56为所求.
又?3,5,7??105，所以105k?54,105k?55,105k?56都满足前面的要求，但k可以取 任意的正整数，故没有最大的.
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3． [原苏联竞赛题]分别很久的两位老朋友相遇了，其中第一个人说，他有3个孩子，他们
的年龄乘积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在的房子的窗户数，第二个人说，他还是不能确定这些孩子的年龄，于是第一个人又补充说，他的岁数最大的孩子是黑色头发，之后第二个人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄是多少岁？
分析：先把36分解成3个正整数的乘积，按照从小到大找，
36?1?1?36?1?2?18?1?3?12?1?4?9?1?6?6?2?2?9?2?3?6?3?3?4已知有8种情况，每一种情况都对应一个和，由于屋子里的窗户数是他们知道的，但是第二个人还不能确定孩子的年龄，那么肯定是因为这时年龄的和有一样的（窗户数是13时），即 2，2，9；1，6，6.最后由于知道了有最大的孩子，那么1，6，6可以排除，剩下2，2，9.
4．[1992年上海市初中数学竞赛题]已知正整数m,n满足1?9?9?2?m?n，则 n?_______._ _ 分析：?n?m??n?m??167，再把167分解成两个正整数的乘积，结果发现167是质数. 5．[1990年湖北黄冈地区初中数学竞赛题]已知m,n都是质数，方程x?mx?n?0有两个 正整数根k,t，求m?n?k?t的值.
分析：由韦达定理知kt?n，由于n是质数，不妨设k?1,t?n，于是k?t?n?1?m， 可见n,m?n?1是两个连续的质数，所以n?2,m?3.
nmlk22222226．[35届美国中学生数学竞赛题]满足方程组??ab?bc?44的正整数组?a,b,c?的组数___.
ac?bc?23???a?1?b?44，
??a?1??b?24 分析：c?a?b??23，知c?1,a?b?23，于是方程组化为? 解之??a?1?2?a?1?22或?，于是方程共两组解：（1，22，1）和（21，2，1）.
b?2b?22??7．证明：如果p,p?2都是大于3的素数，那么6是p?1的因数. 分析：把p按照模6分类即可.
n3?1
8．已知是一个质数，求正整数n的值.
5
n3?1?n?1?n2?n?12? 分析：是一个整数，故有n?1?5k或n?n?1?5k， 55n3?1?n?1?n2?n?1??kn2?n?1，要使其为质数，只能取 当n?1?5k时，55??????