炎德●英才大联考长郡中学2017届高三月考试卷（六）
数学（理科）） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知复数z??3?1i?i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为
? A. 2?i B.2?i C. 4?i D.4?i 2.在中，“sinA?sinB”是“cosA?cosB”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知cos??? A. ?????3?3?，则sin2?? ?,????4?5224477 B. C. ? D. 5525254324.已知等式x4?a1x3?a2x2?a3x?a4??x?1??b1?x?1??b2?x?1??b3?x?1??b4，定义映射
f:?a1,a2,a3,a4???b1,b2,b3,b4?，则f?4,3,2,1??
A.?1,2,3,4? B. ?0,3,4,0? C. ?0,?3,4,?1? D.??1,0,2,?2? 5.若随机变量X?N?,?2?????0?，则有下列结论：P?????X??????0.6826,
P???2??X???2???0.9544,P???3??X???3???0.9974，高三（1）班有40名同学，一次
数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120分，方差100，理论上说在130分以上的人数为
A. 19 B. 12 C. 6 D. 5
6.若?ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c，已知2bsin2A?asinB，且c?2b，则 A. 2 B. 3 C.2 D.3 7.如图，F1,F2为双曲线C的左、右焦点，且F1F2?2，若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1?PF2，设直线PF2与y轴交于点A,且?APF1的内切圆半径为
a? b1，则双曲线的离心率为 2 A. 2 B. 4 C. 3 D. 23 8.已知点E,F,G分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AA1,CC1,DD1的中点，点
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M,N,P,Q分别在线段DF,AG,BE,C1B1上，以M,N,P,Q为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是（注：C图为正三角形）
x2y29.已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?，对于任意实数k，下列直线被椭圆所截弦长与直线y?kx?1被
ab截得的弦长不可能相等是是
A. kx?y?k?0 B. kx?y?1?0 C. kx?y?k?0 D.kx?y?2?0
10.《九章算术》是我国古代著名数学名著，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个
问题：“今有元材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木材的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（注：1丈=10尺=100寸，??3.14,sin22.5?? A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 633立方寸 D. 620立方寸 11.若函数y?2sin?x???0?在区间?? A. 1???5） 13????,?上只有一个极值点，则?的取值范围是 ?63?3339 B. ???3 C. 3???4 D.??? 222212.已知f?x??x?xlnx，若k?x?2??f?x?对任意x?2恒成立，则整数k的最大值是 A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 .
????????14.如图，点O为?ABC的重心，且OA?OB,AB?6，则AC?BC的值
为 .
15.直线2x?y?a?0与3x?y?3?0交于第一象限，当点P?x,y?在不等式组
?2x?y?a?0y8表示的区域上运动时，的最大值为，此时的最大n?m?4x?3y?x?3?3x?y?3?0
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值为 .
x??e,x?116.已知函数f?x???,g?x??kx?1，若方程f?x??g?x??0有两个不同的实根，则实
??f?x?1?,x?1数k的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
已知在数列?an?中，Sn为其前n项和，若an?0，且4Sn?an2?2an?1n?N?，数列?bn?为等比数列，公比q?1,b1?a1，且2b2,b4,3b3成等差数列. （1）求?an?与?bn?的通项公式； （2）令cn?
18.（本题满分12分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T,其范围为
??an，若?cn?的前项和为Tn，求证：Tn?6. bn?0,10?，分为五个级别，T??0,2?畅通；T??2,4?基本畅通；T??4,6?轻度拥堵；T??6,8?中度拥堵；
T??8,10?严重拥堵.早高峰时段?T?3?，从某市交通指挥中心随机选取了三
环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图. （1）这50个路口为中度拥堵的有多少个？
（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用的时间若畅通时为20分钟，基本畅通时为30分钟，轻度拥堵时为36分钟，中度拥堵时为42分钟，严重拥堵时为60分钟，求此人所用时间的数学期望.
19.（本题满分12分）在直角梯形ABCD中，AB//CD,AD?AB,DC?3,AB?2,
AD?1,AE?EB,DF?1,现把EF它沿折起，得到如图所示的几何体，连接DB,AB,
DC，使DC?5.
（1）求证：平面DBC?平面DFB；
（2）判断在线段DC上是否存在一点H，使得二面角E?BH?C的余弦值为?
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30，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由. 620.（本题满分12分）已知离心率为22的椭圆的右焦点F是圆?x?1??y2?1的圆心，过椭圆上的动2点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N（不与P重合）两点. （1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标.
21.（本题满分12分）已知函数f?x?? （1）求方程g?x??0的解集； （2）求函数g?x?的最大值和最小值；
（3）若函数F?x??f?x??ax在定义域上恰有2个极值点，求实数a的取值范围.
sinx的定义域为?0,2??,g?x?为f?x?的导函数. xe请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
?x??4?cost 在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数），曲线C2的参数方程为
y?3?sint??x?8cos?（?为参数）. ??y?3sin?（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
?x?3?2t（2）若C1上的点P对应的参数为t?，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3:?（t为
y??2?t2??参数）的距离的最小值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?a?2x?1,a?R. （1）当a?3时，求函数f?x?的最大值.
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（2）解关于x的不等式f?x??0.
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