2017-2018学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．
B．|a|＞|b| C．a2＞b2
D．a3＞b3
，A=60°，则
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，满足条件的三角形个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．以上都不对
3．数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．
B．20
C．21
D．31
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为c的长度为（ ） A．4 B． C．8 D．
，则
5．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（ ） A．96 B．108 C．204 D．216
6．在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．设a＞0，b＞0，若A．8
B．4
C．1
是5a与5b的等比中项，则+D．
的最小值为（ ）
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．3
B．4
C．
D．13
=4，则=（ ）
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a﹣c=3bc，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ）
A．S10 B．S9 C．S8 D．S7
22
11．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，
则k的值为（ ） A．
B．
C．﹣6 D．6
12．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，
C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．不等式
的解集为 ．
2
14．对任意实数x，不等式ax﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是 ．
15．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于 km．
16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．
（1）求角C的大小；
22
（2）若c=2，a+b=6，求△ABC的面积．
2
18．（12分）已知f（x）=x﹣（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．
19．（12分）已知等差数列{an}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设cn=
，求{cn}的前n项和Sn．
20．（12分）某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
21．（12分）在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=（1）若cos∠ADC=，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？
．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n． （1）求a2；
（2）求数列{an}的通项公式an； （3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．
2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期
中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． 1．（2016秋?福鼎市期中）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．
B．|a|＞|b| C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】探究型；简易逻辑；不等式．
【分析】举出反例，可分析出A，B，C错误，由幂函数的单调性，可判断D正确 【解答】解：若a＞0＞b，则
2
，故A错误；
2
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a＞b，故C错误；
333
函数y=x在R上为增函数，若a＞b，则a＞b，故D正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题． 2．（2016秋?福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，
，A=60°，则满足条件的三角形个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形． 【分析】根据正弦定理求出B，然后进行判断即可． 【解答】解：∵a=3，，A=60°， ∴由正弦定理可得：sinB=
=
=1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．（2016秋?福鼎市期中）数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ）
A． B．20 C．21 D．31
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】把已知数列递推式变形，考查了an+1﹣an=2n，然后利用累加法求得a5的值． 【解答】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题． 4．（2016秋?福鼎市期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=4，面积为，则c的长度为（ ） A．4 B． C．8 D． 【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形． 【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵A=60°，b=4，面积为， ∴4
=
bcsinA=
4×c×
，
∴解得：c=4． 故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
5．（2016秋?福鼎市期中）在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（ ）
A．96 B．108 C．204 D．216 【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意和等差数列的性质求出a2、a11，由等差数列的前n项和公式求出此数列前12项和．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78， ∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26， ∴此数列前12项和
=
=6×18=108， 故选B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题． 6．（2016秋?福鼎市期中）在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【考点】正弦定理．