FlexPDE的多平台适应性
现在无论是Unix，Linux和Mac的用户都可以像Windows的用户那样享受FlexPDE强大和便捷了。
Heatflow（热流问题）
这个问题描述一个木片的横断面部分，分析通过该结构时的热量损失。它由十七个具有不同传导性的不同区域构成。内部和外部之间的温度差异相差70度。
Tension(张力问题)
这个问题是说一个被拉紧的有孔的横木的变形性。FlexPDE要解决两个同时发生在横木的x和y方向位移的偏微分方程 dx(Sx) + dy(Txy) + Fx = 0 dx(Txy) + dy(Sy) + Fy = 0
Sx和Sy 是X和Y方向上的压力, Txy 是切应力, Fx和 Fy 是X和Y方向上的质量力. Sx = C11*dx(U) + C12*dy(V) + C13*[dy(U) + dx(V)] Sy = C12*dx(U) + C22*dy(V) + C23*[dy(U) + dx(V)] Txy = C13*dx(U) + C23*dy(V) + C33*[dy(U) + dx(V)] Cnn 是物质构成关系
二维孔道中的滞留
这个问题是说检查二维孔道中的粘性流动. 利用作用在通道的末端固定压，FlexPDE解出了液体的X和Y方向上的速度.这个问题的雷诺氏数接近20
在笛卡尔二维上不可压缩液体的Navier-Stokes方程 rho*[dt(U) + U*dx(U) + V*dy(U)] = mu*div(grad(U)) - dx(P) rho*[dt(V) + U*dx(V) + V*dy(V)] = mu*div(grad(V)) - dy(P)
还有连续性方程 dx(U) + dy(V) = 0.
这里U和V是X和Y方向上的速度,P是压力,rho是密度,mu是粘度
Chemical Reactions（化学反应）
这个问题涉及到当空气过管道时,在空心管化学容器中气体的横断面.化学反应有个反应速率,与温度是指数关系,一旦到达点火温度爆炸反应就会完成.管的两端都有加热带,帮助诱导点火.我们模拟圆形横断面的四分之一.同时会发生两个PDE,一个是对温度,一个是对化学物质的浓度
dt(T) = div(grad(T)) + a*(1-C)*exp(G-G/T) dt(C) = div(grad(C)) + b*(1-C)*exp(G-G/T)
其中T是温度,C是浓度.a,b,和G是常数
Permanent Magnet（永久磁铁）
这个问题涉及到一个含有永久磁铁的磁心的磁场问题 系统遵守PDE
curl(curl(A)-P)/mu) + J = 0
这里A是磁场矢量势,P是磁化,J是电流密度,mu是通透性
Diffusion（扩散）
这个问题涉及到搀杂剂从稳定的遮蔽源热扩散进入固体,参数就选择那些在半导体扩散中经常遇到的参数.PDE就是扩散方程
dt(C) = div(D*grad(C))
C是浓度,D是扩散系数,早期,接近源头的溶解可以类比成一维扩散中分析的溶解
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FlexPDE是什么?
FlexPDE是一个“脚本的有限要素模型建立工具和数字的处理器”。由此我们将其解释为由用户书写的脚本。FlexPDE执行必要的操作来将一个偏微分方程组的描述转变成成为一个有限的要素模型，求解方程组并将结果以图片形式输出。
FlexPDE也是一个“问题处理环境”，因为它可以执行用于求解部分微分方程组的全部必要函数：原始脚本编辑器，建立有限元素网的网格生成器，用以求解的有限元素处理器以及一个将结果分类的绘图系统。 FlexPDE没有默认的问题领域及方程列表，微分方程式的选择完全由用户决定。
脚本语言允许用户在描述他的微分方程组和主要问题的几何图形时所采用的数学方式就像他对他的合作者描述时所采用的方式一样。
例如，以下是一个脚本中的一个方程式部分，这里拉普拉斯的方程被表示为 Div(grad(u)) = 0.
类似的，在脚本中还有一个界限部分，这里主要的二维空间问题的几何界限被近似表示为环绕周长行走。 Start(x1,y1) line to (x2,y1) to (x2,y2) to (x1,y2) to finish
这个脚本形式有很多优点
脚本彻底描述了方程组和主要问题，所以对于正在求解的方程组就没有了不确定 性，因为或许这个例子带有固定的应用程序。
新的变量，新的方程或新的条件可以随意填加，所以软件可以表达任何不同的缺失条件，或是任何一个自然影响 许多不同问题可以用同一软件求解，用户不必为了解决新问题而学习新软件的使用。
脚本模型的推论结果
用户需要能够将他的问题用数学形式表达
在教育环境中它很不错，正是学生需要学习的类型。
而在工业环境中，它有可能成为障碍。但是一个知识渊博的用户可以做出能够由经过较少训练的工人使用和修改的脚本。而且应用脚本库梢哉故救绾尾僮鳌?/font>
FlexPDE能做什么？
FlexPDE能够在笛卡尔或轴对称二维几何空间或三维笛卡尔几何空间中求解一阶或二阶微分方程。
方程组可以使稳态的也可以是时间依赖性的，或者FlexPDE也可以有选择的求解特征值问题。在同一问题中不变方程和时间依赖性的方程可以混合。
FlexPDE可以求解任意数量的联立方程，数量取决于运行FlexPDE的计算机的局限。 方程可以是线性或非线性的,非线性系统通过应用一个修改过的Newton-Raphson叠代法来求解.
任意数量不同物质的属性的部位都可被限定.模拟变量被假定是连续的闯过物质的界面。跳过了从PDE系统的声明所派生出的条件。 提示：
FlexPDE使用起来极为方便，这使得它在教学应用中非常受欢迎。但是FlexPDE不是玩具，全面的掌握了它的功能，您可以将其成功的运用在复杂问题的解决过程中。
它如何运作？
FlexPDE是一个完全整合的PDE处理器，带有多种模型以提供全方位问题解决系统。
一个编辑模型的脚本提供简易文本编辑和主要图形预览。
一个符号等式分析器扩展了定义参数及联系的界限，执行三维求导，抽象应用部分积分法减少建立Galerkin抽象等式的二次步骤。之后将这些等式用雅可比耦连矩阵加以微分。
一个网格生成模块在任意二维问题之上构造了三角有限单元网。在三维问题中，二维网格被挤压成在突出维数中覆盖任意数量非平面层的四面体网。
一个有限元数据分析模块采用特别的步骤，为每一个线性或非线性系统中的稳态问题，时间依赖性问题或特征值问题选择合适的解决方案。有限元的基础可以是二次也可以是三次的。
当错误很严重的时候，一个误差估计程序会测量网格的适合性并且对网格进行改善。这个系统会一直重复这种针对网格的精炼及处理，直到达到用户所能忍受的误差度。
一个绘图输出模块支持解法和图中的任意代数函数，如等高线，表面，矢量或角度图。
一个数据输出模块可以以各种模式书写文档报告，包括简单表格，全有限元网数据，CDF或TecPlot兼容。
谁能够使用FlexPDE？
多数的物理和工程在某种程度上可以被描述成为部分微分方程，这也就意味着像FlexPDE一样的脚本解算器几乎可以被应用于任意的工程或科学领域。
许多领域的学者都可以使用FlexPDE来将他们的试验或设备建模，进行不同影响重要性的预测或检验。参数的变化或从属性并不会被表格库所限，可以随意规划。
工程师可以使用FlexPDE来设计最优化研究，适合度研究以及概念分析。它也可以把一个设计的各个方面建模，而不用针对每种影响选择一种单独的工具。
应用软件开发者可以将FlexPDE作为需要有限元微分方程组建模的特殊目的应用核心。
教育家可以使用FlexPDE来教授物理或工程学。这个软件工具可以被应用于某一学科系统的全范围检验。学生们可以看见实际的方程式，而且可以通过调整术语或域来实现互动的操作。
脚本是什么样子的
问题描述脚本是一个易读的文本文档。文件内容由许多部分组成，每一部分都由标题来鉴别。最常用的部分是： TITLE－用于输出的描述标签项
SELECT－使用者对FlexPDE默认工具的控制项 VARIABLES－依赖变量
DEFINITIONS－有用参数，关系及函数定义 EQUATIONS－每一个变量都与一个微分方程相联系 INTIALVSLUES－非线性或时间依赖性问题初始值
BOUNDARIES－通过丈量范围周长，将线和弧连起以确定形状来描述几何学 PLOTS－列出所需的绘图输出。可能是周线，表面，高线及矢量分块的组合。
一个简单的二次扩散方程可以如下所示：
A simple diffusion equation on a square might look like this: TITLE 'Simple diffusion equation' VARIABLES u
DEFINITIONS k=3 EQUATIONS div(k*grad(u))=0
BOUNDARIES region 1
start(0,0) line to (1,0) to (1,1) to (0,1) to finish PLOTS contour(u) vector(k*grad(u)) END
提示：其他选项部分及详细规则在FlexPDE问题描述相关章节“section”中介绍
限制条件是什么？
正确的限制条件规范对于PDE系统的解法至关重要 在一个FlexPDE脚本中，限制条件被表示成为行走的边界 原始的限制条件类型是VALUEHE和NATURAL VALUE边界条件指定为必须在区域边界内变化的数值。
NATURAL边界条件限制为一个区域边界内的通量。（NATURAL边界条件的精确含义取决于边界条件所确定的PDE，详细情况在“natural boundary conditions”章节中有所说明）
例如，在上面提到的的扩散问题中，我们在底部和顶部边缘增加固定数值，以及零通量条件，如下所示： BOUNDARIES region 1 start(0,0)
value(u) = 0 line to (1,0) { fixed value on bottom } natural(u)=0 line to (1,1) { insulated right side } value(u)=1 line to (0,1) { fixed value on top } natural(u)=0 line to finish { insulated left side }
?
怎样提出我的问题？
FlexPDE可以阅读用可读性语言来描述的，关于待解决问题特性的文本脚本。在简单应用中，脚本将非常简单，而复杂的应用则可能要求对FlexPDE功能的更多了解。在下面的讨论中，我们将从FlexPDE的简单特征开始，随着我们的进程逐步深入到更加复杂的特性中。
FlexPDE拥有一个内置的编辑器，通过它您可以建立您的问题脚本。您可以编辑脚本并运行，然后再编辑再运行直到您得到您所需要的结果。您可以保存脚本以备将来使用或者将其作为今后修改的基础。 开始一个问题设置的最简单办法就是复制一个已经存在的相似的问题。 但是也有其他的办法，定义四个基础部分： 定义变量及方程式 定义域 定义具体的参数 制定图片输出
这些步骤在以下几个部分将会加以描述。我们将应用一个简单的二维热流问题来作为实例，通过运用FlexPDE中的最基本元素来建立脚本。在接下来的部分，我们将把脚本加以完善，以改进的方式把FlexPDE更强大的能力加入其中。三维应用强烈的依赖于二维概念，我们将在一个单独的章节中进行阐述。
接下来我们将不会着力于全面阐述全部有用的选项，而是通过说明最常用的窗体来使用户清楚软件的概念。在FlexPDE的说明书中将会包含全部选项的详细描述。某些选项也可能会在以后的章节中有所介绍。
问题设置指导
在为FlexPDE陈述问题时，以下有一些应该遵守的指导规则。
起始于物理系统的基本综述，基本守恒原理的表达常常比频繁出现在教科书中的沉重的数据处理仿真“简化”要更好操作。
起始于一个简单的模型，可能一个你已知道答案的问题更适宜。这样你既可以检验你对于的问题陈述是否正确，又可以增加您对于FlexPDE可靠性的信心。（一个有效的方法是假定一个解析答案，将其插入PDE来生成得出计算结果所必须的源条目。确定已经将合适的边界条件考虑其中）
开始的时候不必担心非线性系数或具体特性的精确形式。尝试求解一个简单问题，然后添加其他复杂条件。 制订出范围。首先描绘出外部界限，将边界条件定位为您所需要的。然后覆盖其他具体区域，之后的区域将会覆盖或取代其下面的区域，这样你就不用重复很多复杂的界面。
详细说明在求解过程中可能会有所帮助的任何事情。不要只是将您所需要的结果进行区分然后不知道为什么会发生错误。抓住反馈。
符号
大多数情况下，FlexPDE中的符号像在程序设计语言中的符号一样都是简单的文本用法。
微分可以通过dx（）形式来表示，所有的同等命名都可以被识别，如二级衍生符号dxx（），向量操作：div，grad，curl等。
命名不分大小写，F和f相同。
变量和方程式
FlexPDE需要知道的两个主要的信息是：您要分析的变量是什么，定义他们的偏微分方程是什么。
问题脚本的VARIABLES和EQUATIONS部分提供这些信息。二者是紧密相关的，所以对于每个变量都必须有一个对应的方程。 在简单问题中，您可能只有一个变量，如电压或温度。此时，您可以简单的将变量和方程式声明为：
VARIABLES Phi
EQUATIONS
Div（grad（phi））＋S＝0
在更加复杂的情况下，可能会出现多个变量和方程。FlexPDE需要知道如何把方程同变量关联起来，因为构建模型时的一些细节需要依靠这些联系。
变量和方程相联系的最简单的方式是按照顺序：
VARIABLES A,B EQUATIONS Div(grad(A)) + B = 0 Div(grad(B)) + A = 0
第一个等式被假设成是用来定义所列的第一个变量的，依此类推。
事实上更清楚的方式是标记出每个方程以及其定义的变量：