课堂导学
三点剖析
1.三角函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0)，求sinα、cosα和tanα.
思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出
22r=x?y,利用三角函数的定义便可求解.
解：因为x=-4a,y=3a,
22所以r=(?4a)?(3a)=5|a|.
当a＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以
y3a3x?4a4??,cosα=???, r5a5r5a5y3a3??; tanα=?x?4a4sinα=
当a＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以 sinα=
y3a3x?4a4y3a3???,cosα=??,tanα=???. r?5a5r?5a5x?4a4温馨提示
当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化. 2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数 【例2】 确定下列各式的符号： （1）sin105°·cos230°;(2)sin
77?·tan?; 88(3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.
思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号. 解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°＞0,cos230°＜0. ∴于是sin105°·cos230°＜0.
?7777＜?＜π,∴?是第二象限角，则sin?＞0,tan?＜0. 2888877∴sin?·tan?＜0.
883(3)∵?＜6＜2π,
2(2)∵
∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0. (4)∵
??2＜1＜,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞＞cos1.∴sin1-cos1＞0. 422
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数. 3.三角函数线的理解及应用
【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合： （1）sinα≥
13;(2)cosα≤-.
2213,cosα=的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范
22思路分析：作出满足条件：sinα=围.
解：（1）作直线y=
3交单位圆于A、B两点，连结OA、OB.则OA与OB围成的区域（图23的角α的集合为2甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sinα≥
?2?≤α≤2kπ+,k∈Z}.
331(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC、OD.则OC与OD围成的区域（图乙中阴
22?4?影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+
33{α|2kπ+3,k∈Z}.
各个击破
类题演练1 求
5?的正弦、余弦和正切值. 3
解：在直角坐标系中，作∠AOB=
5?（如右图），易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标3为（
13，?）.所以， 22sin
5?5?15?3=?,cos=,tan=?3. 33232变式提升1
已知角α的终边在直线y=-3x上，求sinα.
解：设角α终边上任一点为P（k,-3k）(k≠0),则
22x=k,y=-3k,r=k?(?3k)?10|k|.
(1)当k＞0时，r=10k,α是第四象限角， sinα=
y?3k31010, ???r10k(2)当k＜0时，r=-10k,α为第二象限角, sinα=
y?3k310. ??r?10k10温馨提示
一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P点在终边上的位置无关. 类题演练2
判断下列各式的符号： （1）tan250°·cos(-350°); (2)sin151°cos230°; (3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角). 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0, ∴tan250°·cos(-350°)＞0. (2)∵sin151°＞0,cos230°＜0, ∴sin151°·cos230°＜0.
(3)∵
?3?3?＜3＜π,π＜4＜,＜5＜2π,
222∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0. (4)∵θ是第二象限角， ∴0＜sinθ＜1＜∴cos(sinθ)＞0. 同理，-
?, 2?＜-1＜cosθ＜0, 2∴sin(cosθ)＜0,故sin(cosθ)·cos(sinθ)＜0. 变式提升2
若sin2α＞0且cosα＜0,试确定α所在的象限. 解：∵sin2α＞0,
∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k∈Z), ∴kπ＜α＜kπ+
? (k∈Z) 2?(n∈Z)α为第一象限角. 23?当k=2n+1(n∈Z)时，有2nπ+π＜α＜2nπ+(n∈Z)，α为第三象限角.
2当k=2n(n∈Z)时，有2nπ＜α＜2nπ+
∴α为第一或第三象限角.
由cosα＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x轴的负半轴上. 综上可知，α在第三象限. 类题演练3
利用单位圆中的三角函数线，确定满足sinα-cosα＞0的α的范围.
解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P（x,y） sinα=y,cosα=x.若sinα=cosα
即y=x，角α的终边落在直线y=x上. 此时α=kπ+即y-x＞0.
此时角α的终边落在y=x上方,反之落在y=x下方，因此角α的范围为2kπ+2kπ+
?,若sinα-cosα＞0, 4?＜α＜45π(k∈Z). 4变式提升3
试比较x,tanx,sinx的大小，x∈(0,
?). 2
解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,
则AT=tanx,MP=sinx,
∵S△OAT＞S扇OAP＞S△OAP， 即
111OA·AT＞OA·x＞OA·MP， 222整理,即AT＞x＞MP.因此tanx＞x＞sinx. 答案:tanx＞x＞sinx