大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））
udm?mg?ma (1) dt5
因火箭的初始质量为m0 ＝5.00 ×10 kg, 要使火箭获得最初的加速度
a0 ＝4.90 m·s-2,则燃气的排出率为
dmm0?g?a0???3.68?103kg?s?1 dtu(2) 为求火箭的最后速率,可将式(1)改写成
uvmdmtdmdv?mg?m 分离变量后积分,有 ?dv?u???gdt
v0m0m0dtdt火箭速率随时间的变化规律为 v?v0?ulnm?gt (2) m0因火箭的质量比为6.00,故经历时间t 后,其质量为
m?m0?dm1t?m dt65m0 (3)
6dm/dt得 t?将式(3)代入式(2),依据初始条件,可得火箭的最后速率
v??ulnmm5m0?gt?uln??2.47?103m?s?1 m0m06dm/dt3-17 分析 由题意知质点是在变力作用下运动,因此要先找到力F 与位置x 的关系,由
LF0x．则该力作的功可用式?Fdx 计算,然后由动能定理求质点速题给条件知F?F0?0L率．
解 由分析知F?F0?LF0x, 则在x ＝0 到x ＝L 过程中作功, LF?FL?W???F0?0x?dx?0
0L?2?由动能定理有W?12mv?0 得x ＝L 处的质点速率为v?2F0L m此处也可用牛顿定律求质点速率,即
F0?F0dvdvx?m?mv Ldtdx分离变量后,两边积分也可得同样结果．
3-18 分析 该题中虽施以“恒力”,但是,作用在物体上的力的方向在不断变化．需按功的矢量定义式W?F?ds来求解．
解 取图示坐标,绳索拉力对物体所作的功为
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x2W??F?dx??Fcosθdx???x1Fxd?x22dx?1.69J
3-19 分析 本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式W?F?dx来求解．关键在于寻找力函数F ＝F(x)．根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) ＝kv 变换到
F(t),进一步按x ＝ct3 的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解．
解 由运动学方程x ＝ct ,可得物体的速度
3
2
?v?dx?3ct2 dt2242/34/3按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为F?kv?9kct?9kc则阻力的功为
llx
W??F?dxW??F?dx??cos180odx???9kc2/3x4/3dx??00272/37/3kcl 7
3-20 分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可题3 -20 图求出．
解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有
F ＋P ＝0
在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为P ＝mg -αgy 其中α＝0．2 kg/m,人对水桶的拉力的功为
W??F?dy???mg?agy?dy?882J
00l103-21 分析 (1) 在计算功时,首先应明确是什么力作功．小球摆动过程中同时受到重力和张力作用．重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得；至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式W?F?ds,即能得出结果来．(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率．(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定．解 (1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即
?WP?PΔh?mgl?1?cosθ??0.53J
在小球摆动过程中,张力FＴ 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功
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WT??FT?ds
(2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果．初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为
Ek?Ek?0.53J 小球在最低位置的速率为 v?2EK?m2WP?2.30m?s?1 m
(3) 当小球在最低位置时,由牛顿定律可得
mv2mv2FT?P??2.49N FT?mg?ll3-22 分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上．由此,可依据动能定理列式解之．
解 (1) 摩擦力作功为
W?Ek?Ek0?121232mv?mv0??mv0 (1) 228(2) 由于摩擦力是一恒力,且Fｆ ＝μmg,故有
W?Ffscos180o??2πrμmg (2)
由式(1)、(2)可得动摩擦因数为
23v0 μ?16πrg(3) 由于一周中损失的动能为mv0,则在静止前可运行的圈数为
382n?Ek04?圈 W33-23 分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关．“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将
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所需压力求出．
解 选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有
F1 ＝P1 ＋F (1)
当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得
1212ky1?mgy1?ky2?mgy2 22
式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移．因为F1 ＝ky1 ,F2 ＝ky2 及P1 ＝m1g,上式可写为
F1 -F2 ＝2P1 (2)
由式(1)、(2)可得
F ＝P1 ＋F2 (3)
当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P2 ,且F2 ＝F′2 ．由式(3)可得
F ＝P1 ＋P2 ＝(m1 ＋m2 )g
应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．
3-24 分析 矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用．若取矿车、地球和弹簧为系统,支持力不作功,重力、弹力为保守力,而阻力为非保守力．矿车在下滑和上行两过程中,存在非保守力作功,系统不满足机械能守恒的条件,因此,可应用功能原理去求解．在确定重力势能、弹性势能时,应注意势能零点的选取,常常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点,这样做对解题比较方便．
解 取沿斜面向上为x 轴正方向．弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O．矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为
Wｆ ＝(0.25mg ＋0.25m′g)(l ＋x) (1)
式中m′和m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量．
根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有
Wｆ ＝-ΔE ＝-(ΔEP＋ΔEｋ )
由于矿车返回原位时速度为零,故ΔEｋ＝0；而ΔEP＝(m -m′) g(l ＋x) sinα, 故有
Wｆ ＝-(m -m′) g(l ＋x) sinα (2)
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由式(1)、(2)可解得
m1? m?33-25 分析 由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．
解 因阻力与深度成正比,则有F＝kx(k 为阻力系数)．现令x0＝1.00 ×10 m,第二次钉入的深度为Δx,由于钉子两次所作功相等,可得
x0x0?Δx-2
?0kxdx??x0kxdx Δx＝0.41 ×10 -2 m
3-26 分析 根据势能和动能的定义,只需知道卫星的所在位置和绕地球运动的速率,其势能和动能即可算出．由于卫星在地球引力作用下作圆周运动,由此可算得卫星绕地球运动的速率和动能．由于卫星的引力势能是属于系统(卫星和地球)的,要确定特定位置的势能时,必须规定势能的零点,通常取卫星与地球相距无限远时的势能为零．这样,卫星在特定位置的势能也就能确定了．至于卫星的机械能则是动能和势能的总和．
解 (1) 卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力,由牛顿定律可得
12mEmmEmv2 则 E?mv?GG?mK26RE3RE?3RE?2(2) 取卫星与地球相距无限远(r→∞)时的势能为零,则处在轨道上的卫星所具有的势能为
EP??GmEm 3RE(3) 卫星的机械能为
E?EK?EP?GmEmmmmm?GE??GE 6RE3RE6RE3-27 分析 取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功；而重力P又是保守内力,所以,系统的机械能守恒．但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程．求解上述两方程即可得出结果．
解 由系统的机械能守恒,有
mgR?12mv?mgRcosθ (1) 2根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为
mv2mgRcosθ?FN? (2)
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