第四部分 计算题：
第一类：
1、已知质点受有心力作用，其轨道方程为r=2acosθ，求其所受的有心力F的表达式（质量m及角动量常数h为已知）。
2、质量为m的球受重力的作用，无初速地在阻尼介质中下落，其阻力与速度的一次方成正比，大小为f=kmV , k为比例系数。求球的运动规律。
3、质量为m的质点在水平面上作直线运动，其初速度为VO，所受阻力为f?kV，式中V为质点的运动速度，k为常数。试求质点停止运动的位置和时间。
4、质量为m的质点放在光滑的水平桌面上，一条轻绳与之相连，并通过桌面上一小孔与另一个质量为3m的质点相连。若开始质点以初速VO垂直于绳运动，而水平桌面上的绳长为a。试证明当悬挂点下降a/2时，m质点的速度为V＝
32ag?Vo2（用平面极坐标列方程）。
5、以很大的初速度VO自地球表面竖直上抛一物体，其所受引力F与它到地心的距离的平方成反比。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，不计空气阻力，求物体能到达的最大高度H。
6、初速度为VO的船，由于阻力F＝—beαv而变慢，（α、b为常数，v为速度），计算：（1）、船运动速度的规律；（2）、在停止运动前所经历的时间和路程。
7、初速度为VO的船，受到阻力的大小为F＝kmv2,式中k为常数，m为质量，v为速度。问经过多少时间后，速度减为初速的一半。
8、质量为m的球受重力作用无初速地在空气中下落，其受到的阻力为f=kmv，其中k为常数，v为速度，求球的运动规律。
第二类：
9、雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。
10、雨点开始下落时质量为M，下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水气质量为?，略去空气阻力，试求雨点在t秒后下落的距离。
11、在水平面上有一卷链条，其一端用手以恒速V竖直向上提起，当提起的长度为x时，求手的提力为多少？
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12、长为L的细链条放在水平光滑的桌面上，此时链条的一半从桌上下垂，让其无初速下滑。求当链条末端滑到桌子的边缘时，链条的速度为多少？
13、均匀软链条堆放在桌边，其线密度为ρ，t=0时，令其一端无初速滑下，不考虑摩檫力，求下滑长度x与时间t的关系。
14、机枪质量为M，放在水平地面上，装有质量为M，的子弹。机枪在单位时间内射出的子弹的质量为m，其相对于地面的速度则为u，如机枪与地面的
(M?M)?M摩擦系数为μ，试证明当M，全部射出后，机枪后退的速度为Mu??g。 M2mM,,2215、一长为L的均匀软链条静置在光滑斜面顶端的平台上，斜面倾角为θ。软链的一端由静止沿光滑斜面开始下滑，当软链的末端刚离开平台的瞬间，求软链的速度的大小。
第三类：
16、半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，碗内的长度为C，试求证棒的全长为4（C2－2r2）/C。
17、长为2L的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身侧斜靠在与墙相距为d（d≤Lcosθ）的光滑棱角上。求平衡时棒与水平面所成的角θ。
18、一均质梯子，一端置于摩擦系数为1/2的地板上，另一端斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯子与地面的倾角，最小为多少？
19、两个相同的光滑半球，半径都为r，重量均为Q/2,放在 摩擦系数为1/2的水平面上。在两半球上放了半径为r、重为Q 的球，如图所示。求在平衡状态下两半球球心之间的最大距离b。
20、两个大小相同的均质球，每个重P＝100kg，放在光滑 的斜面与铅垂墙之间，如图所示。斜面倾角θ＝30°。球斜面 与墙的反作用力。
21、求半径为R，顶角为2θ的均匀扇形薄片的质心位置，并证明半圆片的质心离圆心的距离为4R/3π。
22、边长为10厘米的正方形，顶点分别放有四个质点， 质量分别为1kg，2kg，3kg和4kg，求其质心的位置。
23、如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此
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球形帽的质心。
24、一均质细杆长为L，质量为M，可绕通过其质心O并与杆成30°夹角的轴线转动，求细杆对轴线的转动惯量。
25、均匀长方形薄片的边长为a和b，质量为m，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。
26、若一空心球壳半径为R，证明其绕一直径转动时的回转半径为K＝
23R。
27、一实心圆盘质量为M，半径为R，求其绕过质心并与盘面成60°角的轴的转动惯量。
28、半径为R的非均匀圆球，在距圆心O为r处的密度可用下式表示： ρ=ρO（1－αr2/R2）。式中ρO和α为常数，求此圆球绕直径转动时的回转半径。
29、长为L1、L2的均匀细杆，线密度为ρ，制成直角尺。 它对过O点且垂直于L1L2所在平面的轴线的转动惯量为：（ ）
第四类：
30、用绳绕一重量为W，半径为r的均质圆盘，松手后圆盘作平面平行运动，试求其质心的加速度及绳的张力。
31、半径为r的均质实心圆柱体，放在倾角为θ的粗糙斜面上，摩擦系数为μ。设运动不是纯滚动，试求圆柱体质心加速度a及圆柱体的角加速度α。
32、长为2L的均匀杆，质量为m，两端用绳将其水平悬挂，若右边的绳突然断裂，求这一瞬间左边绳的张力及杆的角加速度。
33、均质实心球和一外形相等、质量相同的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，问哪一个球滚得快一点？并证明它们经过相等距离的时间比是21:5。
34、重为P的实心圆柱，沿倾角为θ斜面无滑动地滚下，求圆柱中心的加速度a，圆柱对斜面的压力N及斜面对圆柱的摩檫力f。
35、长为2a的均匀棒AB，以铰链悬挂于A点上，如起始时棒自水平位置无初速释放，并当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？
36、质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上， 柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量 为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子
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是水平的。求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中的张力T。
37、一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M，将光滑的一面放在水平桌上，木板上放一个质量为m的球。若板沿其长度方向突然有一速度V，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？
38、水碾的碾盘边缘沿水平面作纯滚动，碾盘的水平轴则以 匀角速ω绕铅直轴OB转动。如OA=c，OB＝b，试求轮上最高点M 的速度及加速度的量值。
39、转轮AB绕OC轴转动的角速度为ω1，而OC绕竖直线OE 转动的角速度为ω2，如AD=DB=a，OD＝b，角COE＝θ，试求转轮 最低点B的速度。
第五类：
40、OA杆以匀角速ω绕oz轴转动，带动小环M沿半径为r 的圆周运动，求小环的 绝对速度和绝对加速度。
41、如图所示，ω＝C，V，＝b,OP=r，其中C、b为常数，求P点的速度和加速度的大小。
42、一等腰直角三角形OAB在其自身平面内
以匀角速度ω绕顶点O转动，某一点P以匀相对速度沿AB边 运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB。如已知AB＝b， 试求P点在A时的绝对速度和绝对加速度。
43、在一光滑水平直管中有一质量为m的小球，此管以匀角速度ω绕通过其一端的竖直轴转动。如开始时，球距转轴为a，球相对于管的速率为零，而管的总长则为2a。求球刚要离开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。
第六类：
44、半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗外，碗内的长度为C。试用虚功原理求证，棒的全长为4（C2－2r2）/C。
45、曲柄式压榨机如图所示，已知AB=BC=L，现在B 处作用一水平力F，欲使装置平衡，在C处所加的弹力Q 应为多大？用虚功原理求之。
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46、简单机械平衡时的位置如图所示，已知角α及重量 P，杆长均为L，F作用在L/2处，不考虑摩擦，求弹簧的弹性力F。
47、已知两均匀杆质量为m1＝m2＝10kg，长均为1m，用F＝50N的力作用于B点，如图所示，用虚功原理求平衡时θ＝？
48、用绳绕一质量为m半径为r的均质圆盘，松手后圆盘作平面平行运动， 试用拉格朗日方程求其质心的加速度及绳的张力。
49、试以r、θ为广义坐标，用拉格朗日方程推导质点在有心力作用下的动力学方程。
50、一个质量为m的质点能在半径为a的圆形弯管 内无摩擦地滑动，弯管绕竖直直径轴以恒速ω转动，如 图所示。以θ为广义坐标，写出质点m的拉氏函数L。
51、重为P的小环被约束在固定于竖直平面内的 光滑大环上运动，已知大环的半径为R，小环的半径 不计。试用拉氏方程求小环滑下的动力学方程及切向 加速度。
52、用拉氏方程求单摆动运动方程和振动周期。
53、在定滑轮上放一不可伸长的绳，绳一端悬挂一质量为m 的小物体，另一端固结在弹簧上，倔强系数k为已知，滑轮可当 成质量m1分布在边缘的圆环。求其振动周期。
54、均匀直棒AB，长为2L，质量为m，墙与地面均光滑。 开始棒静止，θ＝θO，让棒因自重而运动，用哈密顿正则方程 求棒在任一时刻的角速度ω为多少？
55、用哈密顿正则方程求自由质点m在重力场中的运动方程。
56、试用哈密顿原理求质量为m的复摆作微振动的动力学方程和振动周期，其悬挂点O到质心的距离为OC＝L。
57、质量为m，半径为R的圆柱体自倾角为θ的斜面顶端作无滑动的滚动，试用哈密顿原理求质心的加速度。
58、质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为α 的圆锥面内运动。试以r、θ为广义坐标，用哈密顿原理求此 质点的运动微分方程。
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