2012届高考数学压轴题预测
专题六 导 数
1. 设函数f(x)?ln(x?a)?x2，（1）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln解析：（1）f?(x)?e． 213?2x，依题意有f?(?1)?0，故a?． x?a22x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)?． 33x?x?223?3?f(x)的定义域为??，?∞?，当??x??1时，f?(x)?0；
2?2?当?1?x??11时，f?(x)?0；当x??时，f?(x)?0． 22从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少． 2?2x2?2ax?1?∞)，f?(x)?（2）f(x)的定义域为(?a，．
x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． ①若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值．
(2x?1)2②若??0，则a?2或a??2．若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2??2??22?????，?∞?当x??时，f(x)?0，当x???2，时，f?(x)?0，所以f(x)?????222????(2x?1)2无极值．若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值． ，∞?)，f?(x)?x?2③若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根
?a?a2?2?a?a2?2，x2?． x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极
值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值
判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)．f(x)的极值之和为
1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln．
223答案： （1）a?；（2）见详解。
2点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。 2. 已知函数f(x)?ax在x?1处取得极值2。 x2?b （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，f(x)在区间(m,2m?1)为增函数； （Ⅲ）若P(x0,y0)为函数f(x)?axaxL与f(x)?图象上任意一点，直线的
x2?bx2?b图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围。
a(b?x2)解：（Ⅰ）f?(x)?2 2(x?b)?a(b?1)?02??f(1)?0??(1?b)由已知? ,?f(1)?2??a?2??1?b?a?4 ???b?1?f(x)?4x x2?14(1?x2) （Ⅱ）f?(x)?2?0,得?1?x?1 2(x?1)?f(x)在(?1,1)是增函数
又f(x)在(m,2m?1)上为增函数
?m??1???2m?1?1??1?m?0） ?2m?1?m?24?4x048 （Ⅲ）直线I在P点的切线斜率k?f?(x0)?2 ???2222(x0?1)x0?1(x0?1)令t?11212,则0?t?1,k?8t?4t?8(t?)? 242x0?111时,kmin??,t?1时,kmax?4 42当t???1?k?4） 2a3b?12x?x?x?a,b?R,a?0?的两个极值点，f?x?的导函数323. 设x1,x2是f?x??是y?f??x?
（Ⅰ）如果x1?2?x2?4 ，求证：f???2??3 ； （Ⅱ）如果x1?2,x2?x1?2 ，求b的取值范围 ；
（Ⅲ）如果a?2 ，且x2?x1?2,x??x1,x2?时，函数g?x??f??x??2?x?x2?的最小值为h?a? ，求h?a?的最大值。
（I）证明：f??x??ax??b?1?x?1 x1,x2是方程f??x??0的两个根 1分
2?f??2??0??4a?2b?1?0?1????由x1?2?x2?4且a?0得? 2分
?f4?016a?4b?3?02?????????1????3???2?得4a?2b?0
?f???2??4a?2?b?1??1?4a?2b?3?3 3分
b?1?x?x????12a（Ⅱ）解：由第（1）问知? 由x1?x2?0 ，两式相除得
1?x?x?12?a?x?x1111??b?1??12?? 即b????1 4分
x1?x2x1x2x1x21①当0?x1?2时，由x1?x2??0?x2?0 ?x2?x1?2 即x2?x1?2
a11?b????1 ， x1??0,2? 5分
x1x1?21111?1?x?0?，则???x??2?令函数??x?????0 2xx?2x?x?2????x?在?0,???上是增函数
1111?当x1??0,2?时，b???x1????2?????1? ，即b? 7分
2444②当?2?x1?0时，x2?0 ?x1?x2?2 即x2?x1?2
11?b????1,x1???2,0?
x1x1?211令函数??x?????1?x?0?则同理可证??x?在???,0?上是增函数
x?x?2?7?当x1???2,0?时，b???x1?????2??
41??7??综①②所述，b的取值范围是???,???,???
4??4??（Ⅲ）解：?f??x??0的两个根是x1,x2 ，?可设f??x??a?x?x1??x?x2?
2?? 10分 a?2?x?x1??0 ?x??x1,x2??x?x2?0,x?x1?0 又a?2a2?2??? ?g?x??a?x?x2??x?x1???a?x2?x??x?x1??
a?a??? ?g?x??a?x?x1??x?x2??2?x?x2??a?x?x2??x?x1???2??x?x??21a?121?a(1?)?a??2 ?a??2aa????1 g(x) ??(a??2)
ax?x2121??x1?1? 时取等号 当且仅当x2?x?x?x1? ，即x?1a2aa11 ?h?a???(a??2) ?a?2? 当a?2时，h??a???(1?2)?0
aa ?h?a?在?2,???上是减函数
?h?a?max?h?2???
29 2