第一章复习题答案
1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm）， 即林习惯的边长为2√5 cm.
2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°. 因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等， 故四边形ABCD必是正方形.
3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.
4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.
解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm）， AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB2-AO2)=√(502-302)=40（cm）. 所以BD=2OB=80cm.
（2）S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.
5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
求证：四边形EFPQ为正方形. 证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，
∴四边形EFPQ为平行四边形.
∵AC=BD,∴EF=EQ. ∴□EFPQ为菱形.
∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF=90°.∴菱形EFPQ是正方形. 6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,
∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.
7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形. （2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等. 8.证明：如图1-4-22所示，
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE//AC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE,∴□AEDF是菱形.
9.证明：如图1-4-23所示，
∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线， ∴ME=1/2BC.
同理MF=1/2BC,∴ME=MF.
10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB2=l2,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.
11.证明：∵CP//BD,DP//AC, ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD. ∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD
∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
12.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD. ∵OA=OC,OB=OD, 又∵AM=BP=CN=DQ,
∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,
∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. ∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,
∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB, ∴∠FCD=1/2∠ACB=45°. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.
在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°， ∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD. ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°. ∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.
∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.
∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC-CQ=（20-t）cm. ∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.
当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP, ∴20-t=4t，解得t=4
∴当t为4时，三角形APQD是矩形.
15解：△BFD是等腰三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵∠FBD=∠DBC,
∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF. ∴△BFD是等腰三角形.
16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF, ∴AB=FG,BC=GC,AC=FC, ∴△ABC≌△FGC, ∴∠ACB=∠FCG. ∵∠ACB+∠ACD=90°， ∴∠FCG+∠ACD=90°， 即∠ACF=90°.
∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形. ∴∠AFC=45°.
17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC, ∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°. ∴∠H=90°.同理可证∠F=90°，∠HEF=90°. ∴四边形EFGH是矩形.
19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.