实验二 线性系统时域响应分析
一、实验目的
1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2．通过响应曲线观测特征参量?和?n对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、基础知识及MATLAB函数 1. 基础知识
时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。
用MATLAB求控制系统的瞬态响应 阶跃响应
求系统阶跃响应的指令有：
step(num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出
step(num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10） [y，x]=step(num,den) 返回变量y为输出向量，x为状态向量
在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统：
C(s)25 ?2R(s)s?4s?25该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。则matlab的调用语句：
num=[0 0 25]; %定义分子多项式 den=[1 4 25]; %定义分母多项式
step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线 grid %画网格标度线
xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) %给坐标轴加上说明 title(‘Unit-step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)’) %给图形加上标题名 则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：
为了在图形屏幕上书写文本，可以用text命令在图上的任何位置加标注。例如： text(3.4,-0.06,’Y1’) 和 text(3.4,1.4,’Y2’)
第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。
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图2-1 二阶系统的单位阶跃响应
图2-2 定义时间范围的单位阶跃响应
若要绘制系统t在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：
num=[0 0 25]; den=[1 4 25]; t=0:0.1:10; step(num,den,t)
即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分，如图2-2所示。 脉冲响应
① 求系统脉冲响应的指令有：
impulse (num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出 impulse (num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10） [y,x]=impulse(num,den) 返回变量y为输出向量，x为状态向量 [y,x,t]=impulse(num,den,t) 向量t 表示脉冲响应进行计算的时间 例：试求下列系统的单位脉冲响应： 在matlab中可表示为
num=[0 0 1]; den=[1 0.2 1]; impulse(num,den) grid
title(‘Unit-impulse Response of G(s)=1/(s^2+0.2s+1)’) 由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示。 ② 求脉冲响应的另一种方法
应当指出，当初始条件为零时，G (s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1所以
C(s)1s1?C(s)?G(s)?2?2? R(s)s?0.2s?1s?0.2s?1sC(s)1 ?G(s)?2R(s)s?0.2s?1因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。
向MATLAB输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。
num=[0 1 0]; den=[1 0.2 1];
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step(num,den) grid
title(‘Unit-step Response of sG(s)=s/(s^2+0.2s+1)’)
图2-3 二阶系统的单位脉冲响应 斜坡响应
图2-4 单位脉冲响应的另一种表示法
MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。因此，当求系统G(s)的单位斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。
例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。
C(s)1?2R(s)s?s?1
对于单位斜坡输入量，R(s)=1/s2 ，因此
C(s)?
在MATLAB中输入以下命令，得到如图2-5所示的响应曲线：
num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0]; step(num,den)
1111???s2?s?1s2(s2?s?1)ss
title(‘Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s^2+s+1)’)
图2-5 单位斜坡响应
2. 特征参量?和?n对二阶系统性能的影响 标准二阶系统的闭环传递函数为：
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2?nC(s) ?2R(s)s2?2??ns??n二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。 ?对二阶系统性能的影响
设定无阻尼自然振荡频率?n?1(rad/s)，考虑5种不同的?值：?=0,0.25,0.5,1.0和2.0，利用MATLAB对每一种?求取单位阶跃响应曲线，分析参数?对系统的影响。
为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线（采用“hold”命令实现）。 num=[0 0 1]; den1=[1 0 1]; den2=[1 0.5 1]; den3=[1 1 1]; den4=[1 2 1]; den5=[1 4 1];
t=0:0.1:10; step(num,den1,t)
grid
text(4,1.7,'Zeta=0'); hold
step(num,den2,t) text(3.3,1.5,'0.25') step(num,den3,t) text(3.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t) text(3.3,0.9,'1.0') step(num,den5,t) text(3.3,0.6,'2.0')
title('Step-Response Curves for G(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]') 由此得到的响应曲线如图2-6所示。
图2-6 ?不同时系统的响应曲线 ?n对二阶系统性能的影响
图2-7 ?n不同时系统的响应曲线
同理，设定阻尼比??0.25时，当?n分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数?n对系统的影响。
num1=[0 0 1]; den1=[1 0.5 1]; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,’wn=1’)
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num2=[0 0 4]; den2=[1 1 4]; step(num2,den2,t); hold on text(1.7,1.4,’wn=2’)
num3=[0 0 9]; den3=[1 1.5 9]; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.4,’wn=3’) 由此得到的响应曲线如图2-7所示。 3. 系统稳定性判断 1）直接求根判稳roots()
控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。
若求以下多项式的根s4?10s3?35s2?50s?24，则所用的MATLAB指令为： >> roots([1,10,35,50,24])
ans =
-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。 2）劳斯稳定判据routh（）
劳斯判据的调用格式为：[r, info]=routh(den)
该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。
以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。
den=[1,10,35,50,24]; [r,info]=routh(den) r=
1 35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info=
[ ]
由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。 3）赫尔维茨判据hurwitz（）
赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz（den）。该函数的功能是构造hurwitz矩阵。其中，den为系统的分母多项式系数向量。
以上述多项式为例，由hurwitz判据判定系统的稳定性。
>>den=[1,10,35,50,24]; H=hurwitz(den)
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