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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式
（1）x?5x?0； （2）x?4x?4?0； （3）?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：
（1）方法一：
因为??(?5)2?4?1?0?25?0
所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：
2222
因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.
2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0?? 或?
x?5?0x?5?0??2解得??x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x??.
?x?5?x?52因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.
（2）方法一：
因为??0，
方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为：
2
所以，原不等式的解集是{x|x?2}
方法二：x?4x?4?(x?2)?0（当x?2时，(x?2)?0） 所以原不等式的解集是{x|x?2}
（3）方法一：
原不等式整理得x?4x?5?0.
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2222 WORD格式 可编辑
因为??0，方程x?4x?5?0无实数解， 函数y?x2?4x?5的简图为：
2
所以不等式x?4x?5?0的解集是?. 所以原不等式的解集是?.
方法二：∵?x2?4x?5??(x?2)2?1??1?0
∴原不等式的解集是?.
总结升华：
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当??0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当??0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：
【变式1】解下列不等式
(1) 2x?3x?2?0；(2) ?3x?6x?2?0 (3) 4x?4x?1?0； (4) ?x?2x?3?0. 【答案】
（1）方法一：
因为??(?3)2?4?2?(?2)?25?0
2方程2x?3x?2?0的两个实数根为：x1??222221，x2?2 2函数y?2x?3x?2的简图为：
2
因而不等式2x?3x?2?0的解集是：{x|x??21或x?2}. 2（2x?1)(x?2)?0, 方法二：∵原不等式等价于
∴ 原不等式的解集是：{x|x??（2）整理，原式可化为3x?6x?2?0,
因为??0,
方程3x?6x?2?0的解x1?1?221或x?2}. 233，x2?1?， 33 专业知识整理分享
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函数y?3x2?6x?2的简图为：
所以不等式的解集是(1?（3）方法一：
因为??0
2方程4x?4x?1?0有两个相等的实根：x1?x2?33,1?). 331， 2由函数y?4x2?4x?1的图象为：
原不等式的的解集是{}.
方法二：∵ 原不等式等价于：(2x?1)?0, ∴原不等式的的解集是{}. （4）方法一：
因为??0，方程?x?2x?3?0无实数解， 由函数y??x2?2x?3的简图为：
212212
原不等式的解集是?.
方法二：∵?x2?2x?3??(x?1)2?2??2?0，
∴ 原不等式解集为?.
【变式2】解不等式：?6?x?x?6?6 【答案】原不等式可化为不等式组
22???(x?4)(x?3)?0?x?x?6?6?x?x?12?0 ? ，即，即， ?2?2???x(x?1)?0?x?x?0??6?x?x?6??3?x?4解得?
x?1或x?0?2∴原不等式的解集为{x|?3?x?0或1?x?4}.
类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2. 不等式x?mx?n?0的解集为x?(4,5)，求关于x的不等式nx?mx?1?0的
解集。
思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x?mx?n?0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.
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222 WORD格式 可编辑
解析：由题意可知方程x?mx?n?0的两根为x?4和x?5
由韦达定理有4?5??m，4?5??n ∴m??9，n??20
∴nx?mx?1?0化为?20x?9x?1?0，即20x?9x?1?0
222211(4x?1)(5x?1)?0，解得??x??，
45112故不等式nx?mx?1?0的解集为(?,?).
45总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：
2
【变式1】不等式ax+bx+12>0的解集为{x|-3 2 【答案】由不等式的解集为{x|-3 ?b???3?2??1??a由根与系数关系得? ?12?(?3)?2??6??a解得a=-2, b=-2。 2【变式2】已知ax?2x?c?0的解为?11?x?,试求a、c,并解不等式32?cx2?2x?a?0. 【答案】由韦达定理有：?11211c???，???，∴a??12,c?2. 32a32a22∴代入不等式?cx?2x?a?0得?2x?2x?12?0， 2即x?x?6?0，(x?3)(x?2)?0，解得?2?x?3， 故不等式?cx?2x?a?0的解集为：(?2,3). 【变式3】已知关于x的不等式x?ax?b?0的解集为(1,2)，求关于x的不等式 22bx2?ax?1?0的解集. ??a?1?2?a??32【答案】由韦达定理有：?，解得?, 代入不等式bx?ax?1?0得 ?b?1?2?b?212x2?3x?1?0，即(2x?1)(x?1)?0，解得x?或x?1. 212∴bx?ax?1?0的解集为：(??,)(1,??). 2类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 专业知识整理分享 WORD格式 可编辑 例3．已知关于x的不等式(m+4m-5)x-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 解析： 2 (1)当m+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。 2 (2)当m+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时， 22 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m+4m-5)x-4(m-1)x+3开口向上，且 与x轴无交点， 2??m?4m?5?0所以?， 22????16(m?1)?12(m?4m?5)?022 即??m?1或m??5?1?m?19， ∴ 1 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。 举一反三： 【变式1】 若关于x的不等式mx2?(2m?1)x?m?1?0的解集为空集，求m的取值范围. 【答案】关于x的不等式mx?(2m?1)x?m?1?0的解集为空集 即mx?(2m?1)x?m?1?0的解集为R 当m?0时，原不等式为：?x?1?0，即x??1，不符合题意，舍去. 当m?0时，原不等式为一元二次不等式，只需m?0且??0， 22?(2m?1)2?4m(m?1)?01即?，解得m??， 8?m?0综上，m的取值范围为：m?(??,?). 【变式2】若关于x的不等式mx?(2m?1)x?m?1?0的解为一切实数，求m的取值范围. 【答案】当m?0时，原不等式为：?x?1?0，即x??1，不符合题意，舍去. 当m?0时，原不等式为一元二次不等式，只需m?0且??0， 218?(2m?1)2?4m(m?1)?0即?，解得m?0， ?m?0综上，m的取值范围为：m?(0,??). 专业知识整理分享