计时双基练三十六 基本不等式
A组 基础必做
1
1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
xA．最大值0 C．最大值－4
B．最小值0 D．最小值－4
1?1?解析 ∵x<0，∴f(x)＝－??－x?＋－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，??－x??－x?即x＝－1时取等号。
答案 C
2．下列不等式一定成立的是( )
?21?A．lg?x＋?>lg x(x>0)
4??
B．sin x＋
2
1
≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D.
1
>1(x∈R) x＋1
2
1?1?22
解析 对选项A，当x>0时，x＋－x＝?x－?≥0，
4?2?
?21?2
即lg?x＋?≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x＋
4??
1＝|x|＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x＋1≥1，∴0≤
答案 C
3．已知0 A. 33C. 4 解析 ∵0 1B. 22D. 3 2 2 1 ≤1，故不成立。 x＋1 2?x＋1－x?2＝3。 ??2?4 1 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号。 2答案 B 1 4．若函数f(x)＝x＋1 x－2 (x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4 解析 f(x)＝x＋ 1x－2＝x－2＋1x－2 ＋2。 ∵x>2，∴x－2>0。 ∴f(x)＝x－2＋ 1 x－2 ＋2≥2 ?x－2?·1 x－2 ＋2＝4。 当且仅当x－2＝ 1 x－2 ，即x＝3时，“＝”成立。 又f(x)在x＝a处取最小值。∴a＝3。 答案 C 5．函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．23 D．2 解析 ∵x>1，∴x－1>0。 ∴y＝x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋2?x－1?＋3x－1＝x－1＝x－1 2 ＝?x－1?＋2?x－1?＋33x－1＝x－1＋x－1＋2≥ 2 ?x－1? 3 x－1 ＋2＝23＋2。 当且仅当x－1＝3 x－1 ，即x＝1＋3时取等号。 答案 A 6．已知不等式(x＋y)??1a?x＋y??? ≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( A．2 B．4 C．6 D．8 解析 (x＋y)??1?x＋ay??? ＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a， ∴当1＋a＋2a≥9时不等式恒成立，故a＋1≥3，a≥4。 答案 B 7．已知2x＋2 y＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为________。 ) 2 ?22??xy?解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·?＋?＝4＋2?＋?≥4＋4 ?xy? ?yx? 当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号。 答案 8 xy·＝8。 yxxyyx8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处。 20 解析 设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x。 x费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋“＝”成立。 答案 5 20 x≥2 2020 0.8x·＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时 xx9．(2016·南昌模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________。 解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤?则t＋12t－108≥0，又∵t>0，解得t≥6，即x＋3y≥6。 答案 6 10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1。 111 求证：＋＋≥9。 2 ?x＋3y?2，令x＋3y＝t， ??2? abc证明 ∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabc＝3＋＋＋＋＋＋ bcacabaabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋? ?ab??ac??bc? 1 ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号。 311．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20。 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； 11 (2)＋的最小值。 xy解 (1)∵x>0，y>0， 3 ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy。 ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，取等号。 ??2x＋5y＝20，因此有? ??2x＝5y， ??x＝5， 解得? ??y＝2， 此时xy有最大值10。 ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1。 ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1。 (2)∵x>0，y>0， 11?11?2x＋5y∴＋＝?＋?· xy?xy?201?5y2x?＝?7＋＋?≥ xy?20?1? ?7＋2 20? 5y2x?7＋210 ， ·?＝20xy? 5y2x当且仅当＝时，取等号。 xy2x＋5y＝20，?? 由?5y2x＝，??xy 1010－20 ?x＝，?3解得? 20－410y＝。??3 9 B. 2D．9 117＋210∴＋的最小值为。 xy20 B组 培优演练 →→→ 1．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B， C三点共线，则＋的最小值是( ) abA．4 C．8 →→→ 解析 ∵AB＝OB－OA＝(a－1,1)， → 21 AC＝OC－OA＝(－b－1,2)， 若A，B，C三点共线， →→则有AB∥AC， →→ 4 ∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0。 ∴2a＋b＝1。 又∵a>0，b>0， 21?21? ∴＋＝?＋?·(2a＋b) ab?ab? ab2b2a＝5＋＋≥5＋2 2b2a??＝，当且仅当?ab??2a＋b＝1，答案 D 2b2a×＝9， ab 1 即a＝b＝时取等号。故选D。 3 11 2．已知0 x1－x解析 ∵0 1?11x1－x1?1 ∴＋＝?＋(x＋1－x)＝2＋＋≥4，当且仅当x＝时，取等号。故?x1－x?x1－x?1－xx21 1＋的最小值是4。 x1－x答案 4 3．(2015·重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________。 解析 因为a，b>0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9。令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x>1，y>3)， 于是a＋1＋b＋3＝x＋y，而(x＋y)＝x＋y＋2xy≤x＋y＋(x＋y)＝18，所以x＋y≤32，此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，故当a＝3.5，b＝1.5时，a＋1＋b＋3的最大值为32。 答案 32 4．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似16??8－x－1，0≤x≤4，为y＝?1 5－??2x，4 2 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投 放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。 (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ 5 (2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据： 2取1.4)。 解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂， 64??－4，0≤x≤4，8－x所以浓度f(x)＝4y＝???20－2x，4 64 当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x≤8， 8－x所以此时0≤x≤4。 当4 综上可得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天。 (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天， 1616a16a?1??－1?浓度g(x)＝2?5－x?＋a?＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－?14－x14－x?2??8－?x－6??4≥2 ?14－x?· 16a－a－4＝8a－a－4。因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以14－x4a∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4a时，y有最小值为8a－a－4。令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6。 6