R(s)-1??s10s(s?2)C(s)
图4-15 题4-10的系统结构图
【解】系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?系统的闭环特征方程为
10(?s?1)
s(s?2)s2?2s?10?s?10?0
则以τ为参变量时的等效开环传递函数为
G?(s)H?(s)?以下绘制以τ为参变量时的系统根轨迹：
Ks, (K?10?)
s2?2s?101) 等效开环传递函数有2个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝-1±j3，z1＝0。 2) 新系统具有2条根轨迹，一条终止于z1＝0，另一条终止于无穷远处。 3) 实轴上的(-∞,0]为根轨迹区域。
4) 新系统有2条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为0和180，交点为
???a?5) 根轨迹的汇合点
?p??zii?1j?1nmjn?m?(?1?j3)?(?1?j3)??2
1根据等效开环传递函数的表达式，有
A(s)?s2?2s?10，B(s)?s，于是
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)??s2?10?0
解得s1,2??10??3.16。显然，汇合点坐标为d＝-3.16。
6) 根轨迹的出射角
?p????zp??pp?180??(180??arctan3)?90??198.43?，?p??198.43?
111212根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图4-16所示。
jωp1+3j
d=-3.16-5 -4 -3 -2 -1 0σp2-3j
图4-16 题4-10的系统根轨迹
4-11【解】（1）确定满足条件的极点容许区域。 由题意?%≤5%，及关系式?%?e尼角?又由ts???1??2?100%，可得?≥0.69。根据??arccos?，可得阻
≤46.3?。
?8s，及ts?3.5??n?3.5?（??为极点实部），可知?≥0.4375。
因此，极点容许区域如图4-17中的阴影区所示。
6
jωK*K*???-2 -1 0σK*
图4-17 极点容许区域
*
（2）确定根轨迹与容许区域边界交点处的K值。
用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线s=-0.4375交点处的K*值为0.684；复平面上根轨迹与扇形区边界交点－1±j1.046处的K*值为2.094，故满足条件的K*值范围为
0.684 < K* < 2.094
4-12 【解】（1）由于已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数部分为一圆，其中圆心在有限零点z1＝-6处，半径为有限零点到分离点（会合点）的距离。
由开环传递函数知：A(s)?s得到：s22?3s，B(s)?s?6。代入方程A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理
?12s?18?0。解得s1＝-1.76，s2＝-10.24。由图可知，s1为分离点坐标，s2为会合点坐标。系
Root Locus6统的根轨迹如图4-18所示。
4AImaginary Axis20β-10.24-1.76-2-4-6-14-12-10-8-6-4-202
图4-18 题4-12系统增加开环零点后的根轨迹图
Real Axis
（2）根据幅值条件，可知：
分离点s1＝-1.76对应的开环根轨迹增益为
K1???1.76?0??1.76?(?3)?1.76?(?6)?0.515
会合点s2＝-10.24对应的开环根轨迹增益为
?K2?*
?10.24?0??10.24?(?3)?10.24?(?6)?17.485
由根轨迹图可知，当0＜K＜0.515时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程；当0.515＜K*＜17.485时，系统有一对负实部的共轭复根，此时系统处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程；当K*＞17.485时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当K*＝0.515或17.485时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼状态快。
（3）过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A，如图4-18所示。由关系式?实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时
?cos?可知，该切线与负
7
??cos??cos45??0.707
相应的A点坐标为-3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为-3±3j。 由幅值条件易知，A点处的开环根轨迹增益为
K??因此，系统的闭环传递函数为
?3?3j?0??3?3j?(?3)?3?3j?(?6)?3
?(s)?单位阶跃输入时，有R(s)?1G(s)H(s)3(s?6)3(s?6)??21?G(s)H(s)s(s?3)?3(s?6)s?6s?18
s，因此，系统阶跃响应的拉氏变换为
C(s)??(s)R(s)?对上式求拉氏反变换，得到
3(s?6)11s?3 ???s2?6s?18sss2?6s?18c(t)?1(t)?e?3tcos3t
图4-19为该系统的单位阶跃响应曲线。由图可见，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。
Step Response1.21Amplitude0.80.60.40.2000.511.522.533.544.55Time (sec)
图4-19 题4-12系统的单位阶跃响应曲线
4-13 【解】（1）具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20所示。
Root Locus32K*=61.414jImaginary Axis1A0K*=0.385βdB-1-1.414j-2-3-4-3-2-1012Real Axis
图4-20 题4-13系统的根轨迹图
（2）经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为d＝-0.423，根轨迹与虚轴的交点为s1,2对应的临界开环根轨迹增益为K*＝6。
当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共轭复数极点。从根轨迹图4-20可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻尼工作状态。因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*值范围。
由幅值条件，可得分离点d处对应的开环根轨迹增益为
??j2??j1.414，
8
K??d?0?d?1?d?2?0.385因此，当0.385< K<6时，系统动态过程为衰减振荡形式。
*
（3）显然，当K*＝6时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为?（4）由题意，???2。
13?j。 33?0.5时，阻尼角??arccos??60?。过坐标原点作两条与负实轴成60°的射线，与根
轨迹交于A、B两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B两点的坐标为s1,2??由于系统的n－m≥2，因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即
s1?s2?s3?p1?p2?p3
由此可得第三个闭环极点为
13137s3?0?(?1)?(?2)?(??j)?(??j)??33333
根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根轨迹增益为
K??s3?0?s3?1?s3?2?1.037由此可得系统的闭环传递函数为
7??13??13??s?s??js??j??????33333??????
由于s3离虚轴的距离是s1,2离虚轴距离的7倍多，所以s1,2是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三
阶系统，即K?Φ(s)?1.037?1.037时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为
Φ(s)?由此可得?n0.445s2?0.667s?0.445
2?0.667，??0.5。单位阶跃信号作用下的性能指标为
?%?e???1???100%?16.3%
ts?3.5??n?10.5 s
由系统的开环传递函数知该系统为I型系统，故其静态速度误差系数为
K?Kv?limsG(s)H(s)?s?02
因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误差为
ess?12???1.93KvK
4-14【解】（1）正反馈系统的根轨迹（此时应按零度根轨迹规则绘制）
1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1＝-1，其余三条均趋向于无穷远处。 3) 实轴上[-4,-2]、[-1,0]和[0,+∞)为根轨迹区域。
4) 由于n－m＝3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：
?a?ni?2k?= 0?, +120?, ?120? 3mjj?1?a?5) 根轨迹的分离点。
?p??zi?1n?m?20?(?2)?(?4)?(?1)5??
33根据系统开环传递函数的表达式，可知A(s)?s(s?2)(s?4)，B(s)?s?1。代入方程
9
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到
s(3s3?16s2?26s?16)?0
求解上述方程，得到方程的根为
s1＝0，s2＝－3.0837，s3,4＝－1.1248±j0.6814
根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d＝-3.0837。 正反馈系统的根轨迹如图4-21(a)所示。
（2）负反馈系统的根轨迹（此时应按常规根轨迹规则绘制）
1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,2＝0，p3＝-2和p4＝-4，z1＝-1。 2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1＝-1，其余三条均趋向于无穷远处。 3) 实轴上(-∞,-4]和[-2,-1]为根轨迹区域。
4) 由于n-m＝3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：
?a?ni?(2k?1)?= ?60?, 180?
3mjj?1?a?5) 根轨迹的分离点。
?p??zi?1n?m?20?(?2)?(?4)?(?1)5??
33根据系统开环传递函数的表达式，可知A(s)?s(s?2)(s?4)，B(s)?s?1。代入方程
A(s)B'(s)?A'(s)B(s)?0，整理得到
s(3s3?16s2?26s?16)?0
求解上述方程，得到方程的根为
s1＝0，s2＝-3.0837，s3,4＝-1.1248±j0.6814
根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d＝0。 6) 根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为
s4?6s3?8s2?K?s?K??0
将s＝jω代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到
?42??K???8??0 ??2???(K?6?)?0求解上述方程组，得到解为
???2, K??12
负反馈系统的根轨迹如图4-21(b)所示。
jωjω?j2d-4 -2 -1 0σ-4 -2 -1 0?j2σ
(a)正反馈系统根轨迹 (b)负反馈系统根轨迹
图4-21 题4-14的系统根轨迹
4-15 【解】(1) 当Gc(s)?Kts时，系统的开环传递函数为G(s)?
1000
s(s?10?10Kt)(s?20)10