类型① 全等三角形的判定与性质
,备考攻略)
1．有关全等三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)．
2．证明两个三角形全等或边、角相等或一些常见几何问题(如垂直、平行等)．
1．“对应”关系找不准确．
2．误用“直观感觉”当条件或自己创造条件． 3．误用判定方法．
在学习中，要注意总结证明两角相等或两线段相等的方法，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路．同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分清楚．
1．有关全等三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)：利用全等三角形的性质求出相应的边、角、周长、面积等．
2．证明边或角相等：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等．如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形．如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换．同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换[方法是：(1)同角(等角)的余角相等；(2)同角(等角)的补角相等，此类型问题一般不单独做一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中]．
,典题精讲)
◆有关全等三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)
【例1】(泰安中考)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为( )
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A．10° B．20° C．7.5° D．15°
【解析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE＝60°，旋转的性质可得∠BCE1＝15°，然后求出∠BCD1＝45°，从而得到∠BCD1＝∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C＝∠BAC＝45°，再根据∠E1D1B＝∠BD1C－∠CD1E1计算即可得解．
【答案】D
1．(绵阳中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为__2__．
◆证明两个三角形全等或边、角相等或一些常见几何问题(如垂直、平行等)
【例2】(贵阳中考)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( ) A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
【解析】当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中，
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AD＝BC，??
∵?∠D＝∠B，∴△ADF≌△CBE(SAS)，故选B. ??DF＝BE，【答案】B
2．(2017南充中考)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.
证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠DEB＝∠AFC＝90°. ∵AE＝BF，
∴AF＝BE.
在△DEB和△CFA中，
?DE＝CF，
?∠DEB＝∠CFA， ?BE＝AF，
△DEB≌△CFA(SAS)． ∴∠A＝∠B，
∴AC∥DB.
3．(2017常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数． 解：(1)∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
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∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠DCE， ∴∠ACB＝∠DCE.
∵在△ACD中，∠ACD＝90°， ∴∠CAD＋∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝∠D.
在△ABC和△DEC中，
?∠BAC＝∠D，?∠ACB＝∠DCE， ?BC＝EC，
∴△ABC≌△DEC(AAS)， ∴AC＝CD；
(2)∵∠ACD＝90°，AC＝CD， ∴∠CAD＝∠D＝45°. ∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°， ∴∠DEC＝180°－∠AEC＝112.5°.
4．(张家界中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC＝OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF.
(1)证明：△CBF≌△CDF；
(2)若AC＝23，BD＝2，求四边形ABCD的周长；
(3)请你添加一个条件，使得∠EFD＝∠BCD，并予以证明．
?AB＝AD，
解：(1)在△ABC和△ADC中，?BC＝DC，
?AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BCA＝∠DCA. 在△CBF和△CDF中，
?BC＝DC，
?∠BCF＝∠DCF， ?CF＝CF，
∴△CBF≌△CDF(SAS)；
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(2)∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是轴对称图形， ∴OB＝OD，BD⊥AC. 又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA. ∵AC＝23，BD＝2， ∴OA＝3，OB＝1，
∴AB＝OA2＋OB2＝（3）2＋12＝2，
∴四边形ABCD的周长＝4AB＝4×2＝8；
(3)当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD＝∠BCD. 理由：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF. ∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF＝∠CDF. ∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠BED＝90°，
∴∠BCD＋∠CBF＝90°，∠EFD＋∠CDF＝90°， ∴∠EFD＝∠BCD.
1．(南京中考)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC，其中正确结论的序号是__①②③__．
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017哈尔滨中考)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D
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