专题突破练(六) 概率与统计中的高考热点问题
(对应学生用书第337页)
1．(2018·合肥调研)近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某机构通过对使用者的调查得出，现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数的茎叶图如图5所示：
图5
(1)求出这组数据的平均数和中位数；
(2)某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选的两个品牌的满意度指数均超过85的概率． [解] (1)这组数据的平均数为83.
8个数按从小到大的顺序排列为73,77,79,82,84,86,90,93，这组数据最中间的两个数82＋84
的平均数为＝83，故这组数据的中位数为83.
2
(2)满意度指数超过80的品牌有五个，从中任选两个有C5种选法，其中所选的两个品牌的满意度指数均超过85的有C3种选法，故所选的两个品牌的满意度指数均超过C3385的概率为2＝.
C510
2．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 2
2
2
3×70＋3×80＋2×90＋7＋9＋3＋6＋4＋2＋0＋3
＝
8
a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出 险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
[解] (1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当
且仅当一年内出险次数大于1，故
P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝
P(AB)P(B)0.153
＝＝＝. P(A)P(A)0.5511
3
因此所求概率为. 11
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝
1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
3．(2018·北京东城区综合练习(二))小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%－60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图6所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.
图6
(1)求小明连续两天都遇上拥挤的概率；
(2)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？(结论不要求证明) [解] 设Ai表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i＝1,2，…，9)．
1
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
9(1)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”， 则B＝A4∪A7.
2
所以P(B)＝P(A4∪A7)＝P(A4)＋P(A7)＝.
9
(2)由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝P(A4∪A7∪A8)
1
＝P(A4)＋P(A7)＋P(A8)＝，
3
P(X＝1)＝P(A3∪A5∪A6∪A9)
4
＝P(A3)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A9)＝，
9
P(X＝2)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.
所以X的分布列为
29
X P 0 1 31 4 92 2 91428故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
3999
(3)从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．
4．(2018·兰州实战模拟)现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题．因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系．现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.
(1)依据题中的数据完成下表，并通过计算说明：能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；
对商品好评 对商品不满意 总计 对服务好评 对服务不满意 总计 (2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求X的分布列(概率用算式表示)、数学期望和方差． 参考数据：
P(χ2≥k0) k0 2
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 n(ad－bc)2χ＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
[解] (1)根据题中条件可得关于商品和服务的2×2列联表：
对商品好评 对商品不满意 总计 22
对服务好评 80 70 150 对服务不满意 40 10 50 总计 120 80 200 200×(80×10－40×70)100χ＝＝≈11.111>10.828，
150×50×120×809因此，有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关．
802(2)由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为＝. 2005
X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5，则X～B?5，?，
5
??
2??
?3?所以P(X＝0)＝??， ?5??2??3?P(X＝1)＝C????， ?5??5?
15
1
4
5
?2??3?P(X＝2)＝C????， ?5??5?
25
23
?2??3?P(X＝3)＝C????， ?5??5?
35
32
?2??3?P(X＝4)＝C????， ?5??5?
45
41
2??P(X＝5)＝??. ?5?
5
X的分布列为
X P X P 350 1 2 4?3? ?5???3 325?2??3?C???? ?5??5?151?2??3?C???? ?5??5?25234 5 1?2??3?C???? ?5??5??2??3?C???? ?5??5?454?2? ?5???522?2?6?2?由于X～B?5，?，所以EX＝5×＝2，DX＝5××?1－?＝. 5?555??5?