L表示劳动，令K=10。
1）试求劳动的平均产量函数（APL）和边际产量函数（MPL）；
2）分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到最大值时企业使用的劳动量； 3）当平均产量达到最大时，平均产量和边际产量各为多少？
解、 1）APL=Q/L=(10L-0.5L3-320)/L
MPL=ΔQ/ΔL=10-1.5L2
2)当总产量最大时，边际产量为0，即MPL=ΔQ/ΔL=10-1.5L2=0时对应的劳动量。 当平均产量最大时，（APL）’=0，即[(10L-0.5L3-320)/L]’=0时对应的劳动量。 当边际产量最大时，（MPL）’=0，即(10-1.5L2)’=0时对应的劳动量。
3）求得（APL）’=0，即[(10L-0.5L3-320)/L]’=0时对应的劳动量，代入平均产量和边际产量的表达式，即可得到平均产量最大时对应的平均产量和边际产量。
2、若企业生产一定量的某种产品所需要的劳动L和资本K的数量可以采用下列A、B、C、D四种组合中的任何一种： 组合 A B C D 劳动L（单位） 18 13 11 8 资本K（单位） 2 3 4 6 1）若PL=6元，PK=12元，企业应该采用哪种生产方法可以使成本最小？ 2）若PL=8元，PK=12元，企业又应该采用哪种方法？ 解、 1）B、C
2）C、D 3、已知企业的生产函数为Q?2LK0.50.5
1）证明该企业的生产时规模报酬是不变的； 2）验证边际生产力递减规律。
1）证明：假设企业同时增加A倍的资本要素投入和劳动要素投入，此时Q1=2(AL)0.5(AK)0.5=2AL0.5K0.5=A(2L0.5K0.5)=AQ，根据边际报酬定义，可知，该企业的生产函数是规模报酬不变的。
2）以劳动要素为例，此时资本要素为固定投入，ΔQ/ΔL=K0.5/L0.5，继续求导，Δ2Q/Δ2L=-K0.5/L1.5,因为，K>0，L>0，故该二阶倒数小于零，也即劳动要素的边际生产力递减。
资本要素证明同理。 4、已知企业的生产函数为Q?2LK0.50.5
1）证明该企业的生产时规模报酬是不变的； 2）验证边际生产力递减规律。 解、 1）Q/K=L Q/L=K
2)APL=MPL=100 两条线均为直线，且重合。 3）MRTSLK=MPL/MPK
当K=25时，MRTSLK=25/(1/4)=100 当K=10时，MRTSLK=10/1=10 当K=4时，MRTSLK=4/(5/2)=1.6 可见，边际技术替代率为递减的。（图略）
5、已知某企业的生产函数为Q?LK，劳动的价格??2，资本的价格r=1。求： 1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。 2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。
解、 1）因为生产函数为Q=L2/3K1/3，所以MPL=（2/3）L (-1/3)K1/3；MPK=（1/3）L2/3K(-2/3)。
又因为MPL/W=MPK/R，所以K=L。 又由成本方程得：C=Kr+Lw 所以L=K=Q=1000
2)因为MPL/W=MPK/R，所以K=L。 800=L2/3K1/3 ，故L=K=800 又由成本方程得：C=Kr+Lw 所以C=2400
6、假定某企业的短期成本函数是TC(Q)=Q3-5Q2+15Q+66
1）指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；
2）写出下列相应的函数：TVC(Q)、AC(Q)、AVC(Q)、AFC(Q)和MC(Q)。 解、1)可变成本部分是Q3-5Q2+15Q，不变成本是66
2)TVC(Q)=Q3-5Q2+15Q,AC(Q)=Q2- 5Q+15+66/Q,AVC(Q)=Q2-5Q+15 AFC(Q)=66/Q,MC(Q)=3Q2-10Q+15
7、已知某企业的短期总成本函数是STC(Q)=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5，求最小的平均可变成本值。
解、AVC(Q)=0.04Q2-0.8Q+10,求[AVC(Q)]’=0时对应的产量，将求得产量代入AVC(Q)，即可得最小的平均可变成本为6。(计算过程略)
8、假定某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100，且生产10单位产量时的总成本为1000。
1）求固定成本的值
2）求总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解、 1）MC= 3Q2-30Q+100 所以TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+FC
当Q=10时,TC=1000 可得固定成本值:500
2）TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+500 TVC(Q)= Q3-15Q2+100Q AC(Q)= Q2-15Q+100+500/Q AVC(Q)= Q2-15Q+100
9、已知生产函数Q=A1/4L1/4K1/2；各要素的价格分别为PA=1，PL=1，PK=2；假定厂商处于短期生产，且K?16。
推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。
因为K?16，所以Q=4A1/4L1/4 （1）
2313?Q?A?3/4L1/4 ?A?QMPL??A1/4L?3/4
?LMPA??QMPA?AA?3/4L1/4PA1??1/4?3/4???1 ?QMPLPL1AL?L所以L=A （2）
由(1)(2)可知L=A=Q2/16 ，又TC(Q)=PA*A(Q)+PL*L(Q)+PK*16= Q2/16+ Q2/16+32= Q2/8+32
故可得AC(Q)=Q/8+32/Q ，TVC(Q)= Q2/8，AVC(Q)= Q/8 ，MC= Q/4。
10、假定某厂商短期生产的边际成本函数SMC(Q)=3Q2-8Q+100，且已知当产量Q=10时的总成本STC=2400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。
因为SMC(Q)=3Q2-8Q+100，所以STC(Q)= Q3-4 Q2+100Q+C= Q3-4 Q2+100Q+TFC。
当产量Q=10时的总成本STC=2400，也即2400=103-4*102+100*10+TFC，得TFC=800进一步可得以下函数：STC(Q)= Q3-4Q2+100Q+800 SAC(Q)=STC(Q)/Q=Q2-4Q+100+800/Q AVC(Q)=TVC(Q)/Q= Q2-4 Q+100
四、案例分析
案例1 牛奶生产
根据美国农业部的资料，在一定的时间内，按下列草与粮食的组合搭配喂养一头奶牛均可生产出4250公斤牛奶。
草（公斤）
2500 2750 3000 3250 3500 3750
粮食（公斤）
3077 2727 2446 2211 2014 1847
1）根据上面的数据，画出等产量曲线。 2）计算等产量曲线上各点的边际技术替代率 3）讨论该等产量曲线的凸凹性。
4）如果每公斤草的价格等于每公斤粮食的价格，应否按5000公斤草和6154公斤粮食的组合喂养奶牛？ 解、（1）等产量曲线如下图：
草（公斤） 3500 A B C 3000 D E 2500 0 2000 2500 3000 粮食（公斤） （2）等产量曲线上的每一区域（A,B,C,D,E）的边际技术替代率计算如下： 区段 边际技术替代率 A B C D -（3750-3500）÷（1847-2014）=1.49 -（3500-3250）÷（2014-2211）=1.27 -（3250-3000）÷（2211-2446）=1.07 -（3000-2750）÷（2446-2727）=0.89 E -（2750-2500）÷（2727-3077）=0.71 （3）显然，等产量曲线凸向原点。随着用更多的粮食替代率，边际技术替代率递减。 （4）2500公斤草和3077公斤粮食不是最优组合，生产同样多的牛奶有更经济的其他组合。如果每公斤草和粮食的价格均为P，2500公斤草和3077公斤粮食的总成本为5577P。榆次对比，3000公斤草和2446公斤粮食的总成本只有5446P，显然后者更为经济。 案例2 波音747的短期成本
1975年，根据波音公司上报参议院的数据表明，使用波音747飞机飞行1200英里和2500英里，分别载客250人、300人和350人的每乘客英里成本（以美分计）如下表。
单位：美分
载客量（人） 航程（英里）
1200
2500
250 4.3 3.4
300 3.8 3.0
350 3.5 2.7
1）当载客量在250人至300人之间，航程为1200英里，那么每增加一名乘客的边际成本是多少？
2）当载客量为300人，航程在1200英里与2500英里之间时，每增加1英里飞行的边际成本是多少？
3）1975年，2500英里航程的经济舱票价是156.60美元。如果一架波音747运载300名乘客进行这种飞行，其收入能抵补成本吗？
4）上表能否用于2000年？为什么？ 解、（1）如果飞机运载的乘客为250人，总运营成本为1200×250×4.3，即12900美元。如果飞机运载的乘客为300人，总运营成本为1200×300×3.8，即13680美元。因此，由于增加了50名乘客而增加的成本为13680-12900，即780美元，所以增加一名乘客而增加的成本最低位780÷50，即15.60美元。
（2）航程为1200英里的总成本为1200×300×3.8，即13680美元，航程为2500英里的总成本为2500×300×3.0，即22500美元。由于增加1300英里飞行而增加的成本为22500-13680，即8820美元，因此增加1英里飞行而增加的成本（近似）为8820÷1300，即6.78美元。
（3）能够。每名乘客的总运营成本等于2500×3.0，即75美元，这小于156.60美元。 （4）不能。因为2000年与1975年投入品的价格是不同的，如燃料价格在70年代后期涨了很多，同样，机务人员工资在1975年与2000年也大不一样。 案例3 IBM的长期成本
IBM公司是世界上主要的计算机生产商。根据该公司的内部备忘录，IBM公司生产不同数量的双鱼座牌（370/168）计算机的长期总成本如图所示。
成本（百万美元） 300 200 100 0 长期总成本 100 200 300 400 500 600 700 产量（Q） 双鱼座计算机的长期总成本曲线 与产量相应的总成本函数为C=28303800+460900Q 式中，C为总成本（以美元计）；Q为产量。
1）如果整个市场对这种计算机的需求量为1000台，并且所有计算机厂家有相同的长期总成本函数，那么，一个拥有50%市场份额的企业与一个拥有20%市场份额的企业相比，其成本优势有多大？
2）生产这样一台计算机的长期边际成本是多少？边际成本取决于产量吗？ 3）是否存在规模经济？
4）上面的数据是对成本的一种预测，但这些预测主要依据技术数据，而不是实际发生的成本。为什么IBM公司做出这种预测？在这些预测中，什么因素会导致产生误差？ 解、（1）如果Q等于500，平均成本就等于（28303800+46800×500）÷500=517408（美元）。如果Q为200，平均成本就等于（28303800+460800×200）÷200=602319（美元）。所以拥有50%市场份额的企业比拥有20%市场份额的企业的平均成本低14%左右。
（2）长期边际成本为460800美元。在数据资料所包括的产量范围内（据图大约为200单位~700单位），边际成本不变。
（3）是的。因为长期平均成本等于460800+28303/Q，长期平均成本随着产量Q的增加而减少。 （4）由于利润等于收益减去成本，所以这些预测在估计因销售不同数量产品而增加利润（或损失）方面是非常有用的。然而，如果投入品的价格与预测所依据的假设不一致，这些预测就会发生误差，或者投入品的生产率与预期的生产率不同，预测会出现误差。