§2.3 等差数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)．
n?a1＋an?
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为
2
1
a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
2
3．等差数列前n项和的性质
?Sn?d
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列?n?也是等差数列，且公差为.
2??
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m
－S2m也成等差数列．
anS2n－1
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
bnT2n－1
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 答案 C
7?a1＋a7?7?a2＋a6?
解析 S7＝＝＝49.
22
a1
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
d
1
A. B．2 21
C. D．4 4
答案 A
解析 由题意得：
11
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
22∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
a11
∴10a1＝5d，∴＝. d2
2
3．已知等差数列{an}中，a23＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( ) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 答案 D
2
解析 由a23＋a8＋2a3a8＝9得 (a3＋a8)2＝9，∵an<0， ∴a3＋a8＝－3，
10?a1＋a10?
∴S10＝ 2
10?a3＋a8?10×?－3?＝＝＝－15.
22
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( ) A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9
－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45. ∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663 答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
1
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
2
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1
－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－1 答案 B
?a＋a＋…＋a
解析 由?
?a＋a＋…＋a
1
32
4
2n－1＝na1＋n?n－1?
×?2d?＝90，2
n?n－1?
＝na＋×?2d?＝72，2n2
2
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3. 二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
3×2
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
2
即a1＋d＝1，
6×5
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
2
即2a1＋5d＝8. ?a1＋d＝1，?a1＝－1，??由?解得? ??2a＋5d＝8，d＝2.?1?
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
Sn7n＋2a58．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是
Tnn＋3b5
________．
65答案 12
a59?a1＋a9?S965解析 ＝＝＝. b59?b1＋b9?T912
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
?n＋1??a1＋a2n＋1?
解析 S奇＝＝165，
2
n?a2＋a2n?S偶＝＝150.
2
n＋116511
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
n15010
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m
的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． ∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
SmS2mS3m方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
m2m3m
2S2mSmS3m∴＝＋. 2mm3m
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. 三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
a＝a＋?n－1?d，??n1
解 由? n?n－1?
??Sn＝na1＋2d，a＋2?n－1?＝11，??1
得? n?n－1?
na＋×2＝35，?2?1
???n＝5?n＝7，?解方程组得或? ?a1＝3???a1＝－1.
?Sn?
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列?n???
的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
1
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
2
??7a1＋21d＝7
∵S7＝7，S15＝75，∴?，
??15a1＋105d＝75
?a1＋3d＝1?a1＝－2??
即?，解得?， ??a＋7d＝5d＝1?1?Sn11
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)， n22Sn＋1Sn1∵－＝， n＋1n2
?Sn?1∴数列?n?是等差数列，其首项为－2，公差为，
2??
n?n－1?1129
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n－n.
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能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29 答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
n?n＋1?
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝. 2
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
An7n＋45an14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得
Bnn＋3bn
为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D
anA2n－114n＋387n＋19解析 ＝＝＝ bnB2n－12n＋2n＋17?n＋1?＋1212＝＝7＋，
n＋1n＋1∴n＝1,2,3,5,11.
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量． n?a1＋an?在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，2n?n－1?若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好． 22．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．