合肥工业大学
工程硕士专业《工程中的有限元》2010年试卷答案
2010年2月28日晚考试
考生姓名： 学号： 专业： 适用专业：工程硕士－土木与建筑、水利工程2009级，出题人：牛忠荣
(共7题，满分100分), 题号 题1 题2 题3 分值 10 15 10 得分
题4 10 题5 15 题6 15 题7 25 总分 100 1．（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？ 答：弹性力学有限元的基本过程是：
e}{f}?[N]{?1. 假设单元的位移场模式
e{?}?[B]{?} 2. 代入到几何方程得到
e{?}?[D][B]{?} 3. 代入到物理方程得到
ee[F]?[k]{?} 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 ee[F]?[k]{?} 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程
6. 引入位移边界条件后，解第5步得到的方程组，可以得到结点位移
2．（15分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图，试求：
（1） 对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带宽最小； （2） 计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3） 指出已知约束的结点位移。 答： （2） d=4 , B=2(d+1)=10
(3) u1?u15?v1?v15?0. 1
47632810111315题2图
5912141
3．（10分）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？ 应力场连续吗？
答：在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相等。
相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。
4．（10分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面问题的有限元计算列式的主要区别之处？
答：
区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称问题应力和应变分量是4个；
求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。
5．（13分）回答下列问题：
（1） 弹性力学平面问题8节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元
素是多少？
（2） 弹性力学空间轴对称问题三角形3节点单元，其单元自由度是多少？
单元刚阵元素是多少？
（3） 弹性力学空间问题20节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵
元素是多少？
（4） 平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元
刚阵元素是多少？
答： （1）弹性力学平面问题8节点等参元，自由度16个，刚阵元素16×16＝256； （2）空间轴对称三角形3节点单元，单元自由度6个，单元刚度元素36个； （3）空间问题20节点等参元，其单元自由度60个，单元刚度元素3600个； （4）平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度6个，单元刚度元素是36个。
2
6．（15分）图中为4节点正方形单元受分布力q和集中力G作用；集中力G作用在A点，方向与x轴成450，见图示。试计算该单元的等效节点力列阵。
解：
?Ps?e?[0
000qy4AG31mx1m121m1m题6图
2G22G?qh0?qh]T2 3
7．（25分）图示为一个三角形状简支梁，厚度为h。底边中点A受载荷P作用，弹性模量E已知，泊松比??0。按平面应力考虑，试用简单的三角形常应变单元计算：
（1）该三角形单元的刚度矩阵；
（2）结构有限元模型的等效结点力向量； （3）已知的结点位移边界条件；
（4）采用划行划列法引入已知结点位移，计算A点位移。
y 1 x450450A?? Pll3 2 xp题7图
2
解：
根据对称性，取半结构，用一个三角形单元，节点如图示。 则有：u1?u2?v3?0 单元刚度矩阵
0?0.5?0.500.5??0.5?010?100???1.50.5?1?0.5?Eh??0.50k???
1.50?0.5?2??0.5?10.5?00?1010???0.50?0.5?0.500.5????等效节点载荷 F?(Fx10Fx2?p20Fy3)T
单元位移： ??(u1v1u2v2u3v3)T
?1?10??v1??0?Eh???v????p??10.5?1K??F： ??2??2? 2??????01??0??u3??0?解之得：v2??2p 。（完） Eh 4