⑵若点H分线段BE成
BH?2的两段，且AH2?BH2?DH2?p2，试用含p的代数HE式表示△ABD三边长的平方和。
略解：⑴不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4，
∵
BGDE6k??k， ∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是 ， GDEAk?114k6k， △CDE的面积为 ，△DEG的面积是。 k?1k?1(k?1)214k6k24k?3k?1?0，∴k?1 （3分）+=，即 2k?1(k?1)k?1△CDG的面积是
（3分）由此可得：
∴37k2?20=3 （1分）
⑵由⑴知：E、G分别为AD、BD的中点，又∵点H分线段BE成
BH?2的两段， HE∴点H是△ABD的重心。 （2分）
而当延长BE到K，使得BE?EK，连结AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：
?2(BD2?AD2)?AB2?4DM2，2(AB?BD)?AD?4BE，类似地有?2222?2(AB?AD)?BD?4AG2222其中点M为边AB的中点。∴3(AB?BD?AD)?4(BE?DM?AG)。
222222222AG,BH?BE,DH?DM ，AH2?BH2?DH2?p2，333922222222∴BE?DM?AG?p，∴AB?BD?AD?3p。（3分）
4（3分）∵AH?
11
14、（本题满分16分）
观察下列各个等式： 12?1,12?22?5,12?22?32?14,12?22?32?42?30,???。⑴你能从中推导出计算1?2?3?4???n的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：
已知：如图，抛物线y??x2?2x?3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OA n等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、?、An?1，分别过这n?1个点作
22222?、Bn?1，设△OBA1、 x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、?、△An?1Bn?1A的面积依次为
S1、S2、S3、S4、?、Sn 。
①当n?2010时，求S1?S2?S3?S4?S5??S2010的值；
②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？
略解：⑴∵n?(n?1)?3n?3n?1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就
332可得下列n个等式： （2分）
12
13?03?3?3?1,23?13?3?22?3?2?1,33?23?3?32?3?3?1,??, n3?(n?1)3?3n2?3n?1，将这n个等式的左右两边分别相加得： n3?3?(12?22?32???n2)?3?(1?2?3???n)?n （2分）
n3?3(1?2?3???n)?nn(n?1)(2n?1)?即1?2?3?4???n=。（3分）
3622222(0,3)，⑵先求得A、B两点的坐标分别为(3,0)、∴点A1、A2、A3、A4、A5、A6、?、An?13693(n?1)、、、?、，点B1、B2、B3、B4、B5、B6、?、Bn?1的纵坐nnnn323663(n?1)23(n?1)?()2?2()?3、?、?[]?2??3。 标分别为?()?2()?3、nnnnnn的横坐标分别为（3分）∴
99(n2?2n?3)9(n2?4n?12)9[n2?2(n2?n)?3(n?1)2]S1?,S2?,S3?,?,Sn?2n2n32n32n3∴
9{n3?2n(1?2?3???n?1)?3[12?22?32???(n?1)2]}S1?S2?S3???Sn?2n3n(n?1)n(n?1)(2n?1)?3?9(2n2?n?1)26=。 （3分） ?322n4n∴①当n?2010时， 9[n3?2n?9(2?20102?2009)72739881?； S1?S2?S3?S4?S5???S2008=2161604004?20109(2n2?n?1)999???②∵S1?S2?S3???Sn? 24n4n24n2∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于
99，即所有三角形的面积和等于。 （3分） 22
15、（本题满分16分）
有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC； ②腰长为4、顶角为36?的等腰三角形JKL；
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③腰长为5、顶角为120?的等腰三角形OMN；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。 我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；
⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
略解：⑴由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，（2分）不妨设
QS?PR?QR?4,PQ?PS?RS=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为
4?xRIRSxI、F，则由△QRF∽△RSI得到?，即2?，解得x?25?2。
xRFQR42∴SI?RS2?IR2?x2?(4?x2)?10?25＜2.4, 2∴第④种塑料板“可操作”。 （5分） ⑵如上图所示，分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，易求得：AH=2.4, MG=2.5. (2分) 又由⑴可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72?，△JKL≌△PQR，∴KE=SI.
而黄金矩形WXYZ的宽等于4?5?1?25?2＞2.4， （4分） 2
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∴第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”。 ∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率P?7。（3分） 10 16、（本题满分16分）
定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD?IC于点D。
⑴试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论。 ⑵设AB?AC?5,BC?6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，出分别以
略解：⑴结论：D、E、F三点是同在一条直线上。（1分）
证明：分别延长AD、BC交于点K，由旁切圆的定义及题中已知条件得：
DE?n，试作EFmn、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。 nmAD?DK，AC?CK，再由切线长定理得：AC?CE?AF,BE?BF，（3分）
∴KE?AF。∴
KDAFBE???1，由梅涅劳斯定理的逆定理可证D、E、F三点共DAFBEK线。 （3分）
⑵∵AB?AC?5,BC?6,∴A、E、I三点共线，CE?BE?3,AE?4，连结IF，则△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四点共圆。（2分） 设⊙I的半径为r，则：
34AD3?,r?6,∴AI?10,?,即AD?25，ID?45， r8ID6
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∴由△AEF∽△DEI得：m?(4525DE455)?,??,DE?25，84AE825IE512?,EF?5，∴n?。 （4分）
6EF25?mn13?n?m?6mn∴?，因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一
mnnm???1?nm个一元二次方程是6x?13x?6?0。 （3分）
2
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