再注意到6阶子群的阶只能是1，2，3，6由些可见S3的全部子群有{1}，S3，
{1,?1},{1,?2},{1,?5}，{1,?3,?4}。由10题的结论{1,?3,?4}一定是正规子群。
?3{1,?1}?{?3,?2}?{1,?5}?3?{?3,?5}，其余同可验证，故{1,?1},{1,?2},{1,?5}，
{1,?3,?4}均不是S3的正规子群。
习题2.1C(P68)
1.设G?G1?G2是群的直积。如果g1和g2 分别是G1和G2中的n阶和m阶元素，则（g1,g2）是G中[n,m]阶元素。
kkkkk证明：设有正整数k使得(g1,g2)?1，即(g1,g2)?1，所以有g1?1,g2?1，又因
为g1和g2 分别是G1和G2中的n阶和m阶元素，所以有n|k,m|k,即k是n,m的公倍数，由阶的定义知（g1,g2）是G中[n,m]阶元素。
2．设G1和G2为群G的子群，并且对g1?G1,g2?G2均有g1g2?g2g1，则 （1）映射f:G1?G2?G,f((g1,g2))?g1g2是群同态。 （2）f为群的单同态当且仅当G1?G2?{1}。
f为群的同态当且仅当G1G2?G，即G中每个元素均可表成g1g2(g1?G1,g2?G2)。
证明：（1）
f((g1,g2))?g1g2显然是G1?G2?G的映射。设
(g1,g2)?,g1(??g2,?)G，则G1f((g1,g2)(g1?,g2?))?f((g1g1?,g2g2?))?(g1g1?)(g2g2?)?(g1g2)(g1?g2?)?f((g1,g2))f((g1?,g2?))所以映射f:G1?G2?G,f((g1,g2))?g1g2是群同态。
（2）若f为群的单同态，设g?G1?G2，则有(g,1)?(1,g)，而f:G1?G2?G是单射，所以有从而有g?1，故G1?G2?{1}。 若G1?G2?{1}，设f((g))f?(1g(?2g,1,g2?)1g)??(1g,1??G2g,2g,，由G此得)?g1??1g1?g2?g2?1?g1??1g1?g2?g2?1?G1?G2?{1}?g1??1g1?g2?g2?1?1?g1?g1?,g2??g2所以f为群的单同态。
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习题2.2B（P82）
1.证明整环R中关于整除的基本性质 （1） 若a|b,b|c,则a|c.
（2） 若a|b,a|c,则对任意x,y∈R,a|bx+cy.
证明：（1）由条件及整除的定义知b=ad,c=bk,其中d,k∈R,从而c=(ad)k=a(dk),这里dk∈R,故a|c.
(2) 由条件及整除的定义知b=ad,c=ak,其中d,k∈R,从而bx+cy=adx+aky=a(dx+ky), 这里dx+ky∈R,故a| b
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