计算机控制系统课程设计说明书
Ge(z)?E(z)1 （1-3） ?1?Gc(z)=
R(z)[1?D(z)HG(z)]有限拍随动系统的调节器由（1-2）和（ 1-3）可得
D(z)Gc(z) （1-4）
Ge(z)HG(z)由式（1-4）可见．有限拍数字调节器跟对象持性HG(z)和闭环Z传递函数有关，也跟误差Z传递函数Ge(z)有关。
众所周知，随动系统的调节时间也就是系统的误差e(kT)达到恒定值或趋于零所需要的时间，根据Z变换的定义
E(z)??e(kT)z?k
k?0?=e(0)?e(T)z?1?e(2T)z?2?e(3T)z?3???e(kT)z?k?... （1-5）
由式（1-5）就可知道e(0),e(T),e(2T),...,e(kT),...。有限拍系统就是要求系统在典型的输入作用下，当k≥N时，e(kT)为恒定值或e(kT)等于零。N为尽可能小的正整数。 由式（1-3）得
A(z?1) （1-6） E(z)?Ge(z)R(z)?Ge(z)?1m(1?z)在特定的输入作用下，为了使（1-6）式中E（z）是尽可能少的有限项，必须合理地选择Ge(z)。
1.1.2 有限拍调节器的设计
由（1-4）式，有限拍调节器D(z)?Gc(z)，它跟系统的闭环Z传递函数Gc(z)和
Ge(z)HG(z)输入型式[与选择的Ge(z)]有关，也跟对象的特性HG(z)有关。当对象特性HG(z)中包含
z?r因子以及单位圆上（z=1除外）和单位圆外的零点时，有限拍调节器将可能无法实现。
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z设 HG(z)=
?r?(1?zzii?1il?1) （1-7）
?(1?pzi?1n?1)z则 D(z)?r?1(1?pz)Gc(z)?ii?1nn （1-8）
Ge(z)?(1?ziz?1)i?1式中，zi是HG(z)零点，pi是HG(z)极点。
由式（1-8）可见，若D(z)中存在zr环节，则表示数字调节器应具有超前特性，即在环节施加输入信号之前r个采样周期就应当有输出，这样的超前环节是不可能实现的。所以HG(z)分子中含有z?r因子时，必须使闭环Z传递函数Gc(z)的分子中含有z?r因子，以抵消HG(z)中的z?r因子，以免D(z)中出现超前环节zr。
在式（1-8）中，若在?(1?ziz?1)中，存在单位圆上（zi?1除外）和单位圆外的zi时，
i?1n则D(z)将是发散不可实现的，因此，D(z)中不允许包含HG(z)的这类零点，也不允许它们作为Gc(z)的极点，所以只能把HG(z)中zi≥1（zi?1除外）的零点作为Gc(z)的零点，从而保证了D(z)的稳定性。当然，Gc(z)的分子部分增加了这些zi≥1（zi?1除外）的零点以后，将使调节时间ts加长。
由式（1-4），有限拍系统的闭环传递函数
Gc(z)?D(z)HG(z)Ge(z) （1-9）
若对象特性HG(z)的极点?(1?piz?1)中，存在单位圆上（pi?1除外）或单位圆外的
i?1n极点时，为了保证系统的输出稳定，HG(z)的单位圆上（pi?1除外）或单位圆外的极点，用Ge(z)的零点对消掉。
综上所述，设计有限拍调节器时，必须顾及D(z)的可实现性要求，合理选择Gc(z)和
Ge(z)。
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（1）（zi?1除外）或单位圆外的极点；D(z)必须是可实现的，D(z)不包含单位圆上D(z)不包含超前环节。
（2）选择Gc(z)时，应把HG(z)分子中z?r因子，作为Gc(z)分子的因子，即Gc(z)的分子部分必须包含HG(z)分子部分的因子z?r（r=1,2,3，?）；应把HG(z)的单位圆上（zi?1除外）和单位圆外的零点作为Gc(z)的零点。
（3）选择Ge(z)时，必须考虑输入型式，并把HG(z)的所有不稳定极点，即单位圆上（pi?1除外）和单位圆外的极点作为Ge(z)的零点。
1.1.3 有限拍无纹波设计
有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值也为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计的要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。
波动是零阶保持器的输入e2(kT)的波动造成的。有限拍无纹波设计就是要求当k≥N时，e2(kT)保持恒定值，或为零，N为某正整数。由于 E2(z)?D(z)E1(z)?D(z)Ge(z)R(z)，若选定D(z)Ge(z)是z?1的有限多项式，那么，在确定的输入作用下，经过有限拍，e2(kT)就能达到某恒定值，而且能保证系统的输出没有纹波。
为了使e2(kT)是有限拍，应该让D(z)Ge(z)是z?1的有限多项式，由式（1-4）可得
D(z)Ge(z)?Gc(z)HG(z)
?Gc(z)?(1?pzii?1?rni?1n?1)zGe(z)?(1?ziz?1)（1-10）
式中pi，zi分别是HG(z)的极点和零点。由式（1-10）可以看出，HG(z)的极点pi不会影响
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而HG(z)的零点zi有可能使D(z)Ge(z)成为z?1的无限多项D(z)Ge(z)成为z?1的有限多项式，
式，因此有限拍无纹波系统的设计，要求Gc(z)的零点包含HG(z)的全部零点。这也是有限拍无纹波设计与有限拍有纹波设计的唯一不同之处。在有限拍有纹波设计时，只要求
Gc(z)的零点包含HG(z)的单位圆上（zi?1除外）和单位圆外的零点。
1.2有限拍无纹波设计实例
已知条件：
设有限拍无波纹随动系统如图，对象特性G(S)=10/S(1+0.1S) 采用零阶保持器，采样周期T=0.1S,试设计单位速度输入时有限拍无波纹调节器D(Z)。
R(S) + E（Z） _ D(Z) H0(S) G(S) Y(Z) T T 零阶保持器 对象 T 有限拍调节器
图1-2 有限拍随动系统
解：广义对象的Z传递函数
HG(z)?(1?e?TS)?0.368z?1(1?0.717z?1)10 ?Z??=?1?1ss(0.1s?1)(1?z)(1?0.368z)??HG(z)具有z?1因子，零点z1??0.717，极点p1?1，p2?0.368。 Gc?z??z?1?1?0.717z?1??a0?a1z?1??? 选择? ?12?1Ge?z???1?z1??b0?b1z??? （1-11）
Gc(z)中z-1和1+0.717z-1是由于HG(z)中含有z-1因子和零点z=-0.717， Ge(z)中(1-z-1)2
是由单位速度输入决定的。 而Gc(z)中(a0+a1z-1)的项和Ge(z)中的(b0+b1z-1)项是为了使Ge(z)和Gc(z)的阶次相同，且使式子Gc(z)=1-Ge(z)成立。由式（1-11）可得
z?1?1?0.717z?1??a0?a1z?1??1??1?z?1??b0?b1z?1?
2解方程，可得
a0=1.408，a1=-0.826，b0=1，b1=0.592 单位速度输入时，有限拍无纹波调节器
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3.826?1?0.5864z?1??1?0.368z?1?Gc?z? D?z????1?1Ge?z?HG?z?1?z1?0.592z????E2?z??D?z?Ge?z?R?z??3.826?1?0.5864z?1??1?0.368z?1??1?z??1?0.592z??1?1?1?z??1?0.592z??12?1Tz?1?1?z??12
?0.3826z?1?0.0174z?2?0.1z?3?0.1z?4?...由Z变换定义可得
e2(0)=0 e2(T)=0.3825 e2(2T)=0.0174
e2(3T)=e2(4T)=e2(5T)=?=0.1
系统三拍以后，即k≥3，e2(kT)=0.1，所以系统的调节时间ts=3T=0.3s，并且可保证系统的输出是无纹波的。与有纹波有限拍系统一样，按单位速度输入设计的有限拍无纹波系统，当输入为单位阶跃函数时，调节时间ts=3T=0.3s，超调量σp相当大。为了作出有限拍无纹波系统的输出相应，（包括采样点之间的输出值），可以用广义Z变换或扩展Z变换求出Y?z,???Ge?z?D?z?HG?z,??R?z?然后求出相应的y(t)。图1-3表示有限拍无纹波系统的输出响应。
由上述分析可以得出，为了消除纹波，系统的调节时间加长或者调节性能变坏。有限拍无纹波设计，仍然只是针对某种类型的输入信号。当输入型式改变时，系统的动态性能通常变坏。
图1-3 有限拍无纹波系统的输出响应
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