证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题（六）
1.
一、填空题（20分） 1. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?___________. 2. 设
f(z)?1z2?1，则
f(z)的定义
域
为
____________________________.
3. 函数sinz的周期为_______________________. 4.
sin2z?cos2z?_______________________.
??5. 幂级数
?nzn的收敛半径为________________.
n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.
7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.
8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.
9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.
10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分）
n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),i).
、求函数sinz34z6在0?z??内的罗朗展式.
5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值.
三、证明题（20分）
1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6.
2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，
则f(z)在D恒等于常数.
6
3、 若z的m阶零点，则z10是f(z)0是f(z)的m阶极点.
６．计算下列积分．（８分） sinz2(1)
?z?2 (2)
(z??dz；2?z?2z?4z2(z?3)dz．
2)７．计算积分
?2?d?05?3cos?．（６分）
８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）
?)n?(1) ?(1?izn； (2) (n!)2nn?1?nz．
n?1n９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分） 三、证明题．
１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分）
２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）
试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案
二．填空题
1. ??2?in?1?0n?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1
6. 整函数； 7. ?； 8. 1(n?1)!； 9. 0； 10. ?.
三．计算题.
1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1
? f(z)?111n1?zn(z?1)(z?2)?1?z?2(1?z?)?z?n?02?(). n?0222. 解 因为
z??Resf(z)?21?limcosz?lim??1, z?2z??2z??2?sinz7
z??Resf(z)?lim2z???2z???2cosz?lim1?1. z???2?sinz所以
?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0. z???2z??23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,
f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).
所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则
w?z?122a(?1?z?1?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)b2(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?z?1)?1?1)z?12b(a?1)2?b2, Im(z?1)?(a?1)2?b2. 四. 证明题.
1. 证明 设在D内f(z)?C.
令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.
两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2
)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为
??uux?vvx?0. 消去u2vux得, (u2?v)vx?0. ?x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.
2)
若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0,
vy?0.
所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的
z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角
8
增加?. 所以
?f(z)?z(1?z)的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,
2?于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,
则f(z)?z?reii??2k?2,(k?0,1).
又因为在正实轴去正实值，所以k?0.
?4 所以f(i)?e.
2?故f(?1)?2e2i?2i.
《复变函数》考试试题（二）参考答案
二. 填空题
1.1，??2， i； 2. 3?(1?sin2)i； 3. ??2?in?1； 4. 1；?0n?15. m?1.
6. 2k?i，(k?z). 7. 0； 8. ?i； 9. R；10. 0.
三. 计算题
1. 解 sin(2z3?)??(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?3n?0(2n?1)!??. n?0(2n?1)!2. 解 令z?rei?.
3. 单位圆的右半圆周为z?ei?, ??2????2.
所以
?i??2i?i?2?izdz????de?e???2i.
224. 解
?sinzz?2(z??dz)2?2?i(sinz)?z???2?icosz??
22z2=0.
四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令f(z)?c1?ic2,则f(z)?c1?ic2. (c1,c2为实常数).
令u(x,y)?c1,v(x,y)??c2. 则ux?v y?uy?vx?0.
即u,v满足C.?R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析.
(充分性) 令f(z)?u?iv, 则 f(z)?u?iv,
因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以
ux?vy,uy??vx, 且ux?(?v)y??vy,uy??(?vx)??vx.
比较等式两边得 ux?vy?uy?vx?0. 从而在D内u,v均为常数,故
f(z)在D内为常数.
2. 即要证“任一 n 次方程 ann?10z?a1z?????an?1z?an?0(a0?0)
9
有且只有 n个根”. 证明 令
f(z)?a0zn?a1zn?1?????an?1z?an?0, 取
?1cnn!(n?1n)n?11?limn??lim(n?)?limn(?1e. )2. 解 limn??cn??nn??n??(n?1)!nnn?1?a?????an???R?max?1,1?, 当z在C:z?R上时, 有
所以收敛半径为e.
??a0???(z)?an?11R?????an?1R?an?(a1?????an)Rn?1?a0Rn.
?f(z).
由儒歇定理知在圆 z?R 内, 方程a0zn?a?11zn?????an?1z?an?0 与a0zn?0 有相
同个数的根. 而 a0zn?0 在 z?R 内有一个 n 重根 z?0. 因此n次方程在z?R 内有n 个根.
《复变函数》考试试题（三）参考答案
二.填空题.
1.?zz??i,且z?C?; 2. 2k?i(k?z); 3. ?1?ei; 4. 1; 5.
??2?in?1?0n?1; 6. 1; 7. ?i; 8. z?(2k?1)?i; 9. ?; 10.
1(n?1)!.
三. 计算题.
12??n?21. 解 zez?z2(1?11zz?2!z2????)??. n?0n! 3. 解 令 f(z)?ezez1z2(z2?9), 则 Rez?0sf(z)?z2?9??.
z?09故原式?2?iRez?0sf(z)??2?i9.
4. 解 令 f(z)?z9?2z6?z2?2, ?(z)??8z.
则在C: z?1上f(z)与?(z)均解析, 且f(z)?6??(z)?8, 故
由儒歇定理有
N(f??,C)?N(?f?,C?). 即在1 z?1 内, 方程只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.
两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2
) 因为函数在
D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变
为
??uux?vvx?0?uv. 消去u, (u2?v2x得)vx?0. ?vuxx?010