数学建模——太阳能热水器倾角计算
【问题重述】：
可持续发展观是我国的重要国策，能源的充分利用是可持续发展的重要保证。北京工业大学为节约能源，决定建造一个有太阳能热水器提供热水的浴室。为了是太阳能热水器充分发挥作用，现在需要讨论北京地区太阳能热水器倾角与热效率的关系。这里倾角是指热水器受热面积与水平面夹角（小于90度）。请回答以下问题： （1） 计算一年中春分、秋分、夏至、冬至这四天中的最优值。
（2） 如果浴室出现夏天热水用不完。而冬天又不够用的情况。又将如何确定值。 （3） 如果允许一年中调节两次角度。选定在一年中几月几号好。
（4） 如果考虑北京一年四季的天气特点、早晚大气折射，结论又将如何？ 【问题假设】： 1． 太阳能热水器摆放的位置是平整的。 2． 太阳能热水器是面向正南方的。 3． 热水器工作正常，没有任何质量问题。 4． 热水器的光照板的有效面积是S。 5． 太阳垂直照射情况下，地表单位面积、单位时间接收的能量为E。 6． 太阳能热水器将太阳能转换成热能的效率是P。 【模型建立】：
（图一）太阳光线——地面立体图
太阳光线面 地面
（图二）太阳线——热水器剖面图
+ 1
单位时间内太阳板所能接收的太阳能为q, 太阳光与热水器太阳板的夹角为，是指热水器受热面积与水平面夹角：
q=E*
。、wt三个角的关系，其中
为该天中午
由（图一）太阳光线——地面立体图可得出12点，太阳与地面的夹角。
Q
光，该一天内太阳照射到热水器的时间
某一天(假设为晴天)太阳板所能接收的太阳能为为t。
Q光=
q散，热水
热水器中的水所能吸收的热量为Q热，单位时间内热水器中的水散失的热量为
与大气之间的温差为
,温差对q散的影响系数为k。
*q散*t
Q热=P*Q光-k*
综上：热水器中的水所能吸收的热量为Q热为
Q热= P*Q
P*
热
=
积分得：Q热= P*
【问题的求解与分析】：
2
*
Q热= P*
*
(1).若Q热取得最大值，则：。
α为太阳直射点的纬
=90°-∣α-β∣， 度,β为北京纬度（39.92°）
春分时，太阳直射赤道，α=0°，所以，
;
夏至时，太阳直射北回归线，α=23.43°，所以，
秋分时，太阳直射赤道，α=0°，所以，;
冬至时，太阳直射南回归线，α=-23.43°，所以，
(2). Q热加热到所需水温T需时的可用水量为M，水的初始温度为Ｔ初，水的比热容为ｃ
则有
冬天
比较小，所以由上式的M冬比较小；夏天
比较大，所以由上式的M夏比较大；因
此，浴室会出现夏天热水用不完，而冬天又不够用的情况。设，各季节所需水量为M。 ， 调节使
M冬大于M0 。
(3) 因为，浴室出现夏天热水用不完，而冬天又不够用的情况。所以要尽可能的使满足
3
冬天的需求，因此要在立冬（11月7日或8日）这天调节到冬天的最优角度。为了不影响
春夏秋三季的用水问题，应该在立春（2月4日或5日）调节
（4）北京的春季持续时间短，气温回升快，也是一年四季昼夜温差最大的季节。因受季风
的影响，北京的春季干旱少雨，风沙较多；夏季酷暑炎热，降水集中，漫长的夏季常常使得人们感到闷热；秋季秋高气爽，是一年之中最好的季节，酷暑过后凉爽而干燥西北风吹入北京湾，此时天高云淡、气候宜人，金秋八月使北京最好的季节。但进入深秋之后，降温很快，天气突变时，气温可从十几摄氏度一下降到几摄氏度，甚至降到零摄氏度一下；北京的冬季最为漫长，它是一个寒冷、干燥、少降水的季节。
北京地区四季分明，但时间长短却不相同。春季4月1日—5月25日共55天；夏季5月26日—9月5日共103天;秋季9月6日—11月7日共63天;冬季11月8日至次年3月31日共144天。
因此要在冬天开始（11月8日）这天调节到冬天的最优角度。为了不影响春夏秋三
季的用水问题，应该在春天开始（4月1日）调节
【模型的评价】： 【结论】： 【参考文献】：
【1】薛毅主编. 数学建模基础. 北京：北京工业大学出版社，2004.4 【2】薛毅. 数值分析与实验. 北京：北京工业大学出版社，2005.3
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