简答题
1．离散消息X取值于?xi?，其中消息xi出现的概率是p?xi?。写出消息xi所携带的信息量I(xi)与p(xi)之间关系式。若X只有两种等可能的取值，写出其熵。
答：I?xi???log2p?xi?bit，H?X??E???log2?X????1bit
2．某模拟基带信号的频谱范围为0~1kHz。对其按奈奎斯特速率进行取样，再经过A律十三折线编码，那么编码后的数据速率为 kbit/s。 答：16
计算题：
1．（10分）4
p?xi??4进制离散消息X取值于集合?x1,x2,x3,x4?，其中消息xi出现的概率是
A，i?1,2,3,4，A是某个常数。写出X的熵。 2i解．1??p?xi??A?????i?11?216111?15A?， ?A?154816?16A2iH?X???ilog2?1.64bit
Ai?124
1的解是x0。今有随机变量X取值于2abPX?x?PX?x?PX?x?PX?x?，已知，，还已x,x,x,x?????????1234?123422知X的熵为H?X??1.5bit。求a??
2．（6分）设方程?xlog2?x???1?x?log2?1?x??aabb解：H?X???2?log2?2?log2???alog2a?blog2b???a?b??1.5
2222b?1?a。由?P?X?xi??1可得a?b?1，因此?alog2a??1?a?log2?1?a??0.5，
i?14故a?x0。
3．（12分）某模拟带通信号m?t?的频率范围限制在100KHz-101KHz范围内，
今对m?t?进行理想抽样。问
(1)最低无失真抽样频率是多少？ (2)若对抽样结果进行16级量化，并编为自然二进制码，所得数据速率是多少？ (3)将这个数据通过一个频带范围为100KHz-105KHz的带通信道传输，请设计出相应的传输系统（画出发送、接收框图、标出滚降系数、标出载波频率）
解：(1)所求抽样率是2KHz； (2)所求数据速率是8Kbps；
(3) M=4，?=0.25，fc?102.5KHz
fc=102.5KHz??????根号升余弦频谱成形根号升余弦频谱成形sin2?fct++sin2?fct??????根号升余弦匹配滤波信道BPF根号升余弦匹配滤波取样判决取样判决并串变换串并变换cos2?fctcos2?fct
（BPF及信道可以不画，也可以有其它画法）
4．（10分）某模拟带通信号m?t?的频率范围限制在64KHz-108KHz范围内，今对m?t?进行理想抽样。问
(1)最低无失真抽样频率是多少？
(2)若对抽样结果进行11比特量化，所得数据速率是多少？
(3)将这个数据通过一个27:1的信源压缩编码后，再通过一个频带范围为64KHz-108KHz的带通信道传输，请问传输系统的进制数应该是多少？
解．
(1)fs?2fH，n是fH?108KHz除以B?fH?fL?44KHz所得的整数商，即n?2，因n此fs?108KHz。 (2)Rb?11fs?1188Kbps。
??(3)压缩后的速率是RbRb?44Kbps，要求传输系统的频带利用率为2744Kbps?1b/s/Hz。可用2进制调制（滚降系数为0）
44KHz
5．（6分）幅度范围是－1V到＋1V的语音信号的某个样值经过A率13折线编
码后的结果是01110001，此码字经过信道传输后，由于误码的原因收到的是01100001，请问译码结果中纯由误码造成的输出电压误差是多少V？（提示：不考虑量化自身引起的误差）
35?1718?V，所代表的样值范围是?,?V，不考虑量化引起的误64?3232?解：01110001的译码结果是
差，则发送样值是
3511137??V。01100001的译码结果是：?V。所求误差是
46412812864353733??V。 64128128如果译码译为量化间隔的边界，也算对。此时的结果是
17?11?17?????。 32?464?646．（10分）某A率13折线编码器的输入动态范围是?1~?1V，已知输入分别为x1、x2时的编码结果都是01110001，问x1?x2最大可能是多少？
解．01110001的绝对值在第8大段中的第2小段，该小段的长度是
1/21?。在这个小163211段内的任何两个输入都会产生相同的输出，因此x1?x2?，即最大可能值是。
3232
7．（12分）随机变量X、Y以独立等概方式取值于?0,?1?，其熵为H?X??H?Y??1bit。
令Z?2X?Y
(1)请写出Z的各种可能取值及其出现概率； (2)求Z的熵H?Z?
解： Z的样本空间是?0,?1,?2,?3?，各取值等概。H?Z??2bit(单位可以写bit或者bit/symbol)
8．（10分）将下图所示的一个周期为T?1ms的锯齿波信号v?t?以4kHz速率进行采样，采样时刻是kTs?T，k?8,0,1,2,，其中Ts是采样间隔。再对每个采样值进行4电平
均匀量化。请写出对应时间区间?0,T?内的所有取样值，并写出按A律十三折线编码方式编出的相应8比特码字。假设量化区间按绝对值是左闭右开区间。
解：?0,T?内v?t??1?2t，(时间单位是ms)。
2k?12k?1T?ms，?0,T?内有4个取样点，对应k?0,1,2,3。4个取883?2k3113,k?0,1,2,3，即,,?,?V。对应的编码分别是11111000、11100000、样值是44444取样时刻是kTs?01100000、01111000。
9．（12分）随机变量X、Y以独立等概的方式取值于??1,?1?，令Z?X?Y
(1)请写出Z的各可能取值及其出现概率； (2)求Z的熵H?Z?
解： Z的样本空间是??2,0,?2?，P?Z??2??P?Z?2??11，P?Z?0??。 42H?Z??1.5bit(单位可以写bit或者bit/symbol)
10.设有一离散信源如下：
Xx2x3x4x5x6x7????x1????? PX?xi???0.200.190.180.170.150.100.01???试对它进行Huffman编码。
答：10，11，000，001，010，0110，0111
11．（10分）某无记忆二元对称信道的转移概率如下图所示：
1(1)若P?X?0??，求Y的概率分布；
3(2)在(1)的条件下求互信息I?X;Y?； 57，P?Y?1??。 1212(2)I?X;Y??H(Y)?H(Y|X)
答：(1)P?Y?0??H?Y??0.9799。
1133H?Y|X?0???log2?log2?0.8113，
44441133H?Y|X?1???log2?log2?0.8113，
4444因此H?Y|X??0.8113。 因此I?X;Y??0.1686bit/symbol