3.2.5 距 离 【学习目标】
熟练掌握利用空间向量求点线距离、线线距离、线面距离、点面距离、线面距离、面面距离的方法。
【预习案】
1.（1）距离的概念：
（2）如何利用向量运算求两点之间的距离
例：已知平行六面体ABCD—A，B，C，D，，AB?4，AD?3，AA，?5，?BAD?90o，?BAA，??DAA，?60，求AC的长o，?lPnM图4?
2.空间中常见的几种距离
P(1)点到平面的距离(如图1)：
平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就向量n方向射影的绝对值，即d=面的距离(如图3)：
MM图1n?点M为是MP在(2)线到平
lPn|n?MP|. |n|?图3平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈平面α与直线l间的距离d就是MP在向量n方绝对值，即d=
|n?MP|. |n|α、P∈l，向射影的
(4)平面到平面的距离 (如图4)：
平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是MP在
向量n方向射影的绝对值，即d=
|n?MP|. |n|思考：上面几个距离公式的共性？
【课中案】
例1. 在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E为
1010
AC的中点，若异面直线AD与BE所成角的余弦值为的距离．
，求点B到平面ACD
例2. ．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
【课后案】
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，直线l?α，α与β之间的距离为d，有下列四个命题：
①β内有且仅有一条直线与l的距离为d； ②β 内所有的直线与l的距离都等于d； ③β内有无数条直线与l的距离为d； ④β内所有直线与α的距离都等于d. 其中真命题是( ) A．①
B．② D．③与④
C．①与④
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
8
10D. 3
A．10 B．3 C.
3
3．如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4，且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝0，A1C1∩B1D1＝O1.
(1)求二面角O1－BC－D的大小； (2)求点A到平面O1BC的距离．