导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。
例1 x?1求下列数列之和： （1）1?2x?3x??nx2222n?1；
n?1（2）1?2x?3x??nx2；
22222n?2（3）C2?C3x?C4x??Cnx.
2?1分析 （1）由(xk)'?kxk?1(k?1,2,?n)，可设f'(x)?1?2x?3x，则???nnx1?xn?1(x?1)上式两端求f(x)?1?x?x?x???x，而1?x?x?x???x?1?x23n23n导，并整理得1?2x?3x???nx2n?11?(n?1)xn?xn?1① ?2(1?x)（2）比较（1）（2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以x，再对x求导便可得到
1?2x?3x???nx（3）由Cnx2n?22n?11?x?(n?1)2xn?(2n2?2n?1)xn?1?n2xn?2 ?3(1?x)?n(n?1)n?21n?1'x?(nx)可知只需对式两端继续求导便可得到22n?22?3?2x?4?3x???n(n?1)x22?(n2?n)xn?1?2(n2?1)?(n2?n)xn?1 ?(1?x)3?C?Cx?Cx??Cx22232242n?2n1?x?(n?1)2xn?(2n2?2n?1)xn?1?n2xn?2 ?3(1?x)注 只要对上述三个求和式中的x赋予具体值便可得到一系列数列求和公式。例如在（1）中令x?2，可得到1?2?2?3?2???n?2减法”解决.
例2 求下列数列的和
(1) Cn?2Cn?3Cn??nCn； (2) Cn?2Cn?3Cn??nCn； (3) C2Cn?212n?1?2n(n?1)?1。而此前我们只能用“错位相
123n122232n12212312nC3Cn?2C4Cn??n?1Cn?1Cn． 222分析（１）观察（１）式中各项的组合数排序类似于二项展开式中各项的组合数排序，故可
0122nn设(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx
12nn?1两端对求导，得n(1?x)n?1??Cn?2Cnx???nCnx② 123n令x?1，得Cn?2Cn?3Cn??nCn?n?2n?1
由例１中（２）的解法可想到，只需在②的两端同乘以，再求导便可得到
1232nn?1n(n?1)(1?x)n?2x?n(1?x)n?1?Cn?22Cnx?32Cnx???n2Cnx 123n2n?1令x?1，得Cn． ?22Cn?32Cn??n2Cn?Cn2?1（３）由例１中（３）的分析可想到只需在②的两端同乘以x，再求导便可得到
12233nnn(n?1)(1?x)n?2x2?2n(1?x)n?1x?2Cnx?3?2Cnx?4?3Cnx???(n?1)?nCnx
2令x?1213?224?33(n?1)?nnCn ，得Cn?2Cn?3Cn???n222223n?23n?1?n(n?1)n?nn?1
223n?2?n(7n?1)n
2例题３ 求下列数列的和
（１）sinx?2sin2x?3sin3x???nsinnx （２）cosx?2cos2x?3cos3x???ncosnx
'分析 （１）由(cosnx)??nsinnx，可设f(x)?cosx?2cos2x?3cos3x???ncosnx'则f(x)??sinx?2sin2x?3sin3x???nsinnx
x(cosx?2cos2x?3cos3x???ncosnx) 23x53(2n?1)x(2n?1)x?sinx?sin?sinx?sinx???sin?sin
222222(2n?1)xxsin?sin22， 即cosx?cos2x?cos3x???cosnx?x2sin2两端对求导并整理得sinx?2sin2x?3sin3x???nsinnx (n?1)sinnx?nsin(n?1)x ?x4sin22同理可得cosx?2cos2x?3cos3x???ncosnx
而2sin?(n?1)cosnx?ncos(n?1)x?1
x4sin22利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式，通过对函数式的不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性．
例4：数列?an?中，a1?0，an?1?（1）求数列?an?的通项公式；
（2）数列前n的和记为sn，证明sn?n?ln(n?1)。 解：（1）由条件知a2?1， 2?an123n?1，a3?，a4?，推测an?， 234n由数学归纳法可以证明（略）。
（x?1)(x?0) （2）构造函数f(x)?x?ln因为f(x)?1?'1x?， 1?xx?1当x?0时，f'(x)?0，所以f(x)为单调递增函数， 所以f(x)?f(0)?0，即有x?ln(x?1)，
123n?1???...? 234n1121 ?1??1??1??...?1?
123n111 ?n?(1???...?)
23n111?n?(ln(1?1)?ln(1?)?ln(1?)?...?ln(1?))
23n34n?1（2???...?)?n?ln(n?1)。 =n?ln23nsn?a1?a2?...?an?0?即sn?n?ln(n?1)。
说明：由于数列可以看成是定义域为自然数的一类特殊的函数，所以数列问题同样可以转化为函数类型来处理，本题中第（2）小题解法中，先构造出函数，利用导数研究函数的单调性，得出x?ln(x?1)，再将x换成关于自然数n的形式，从而得到问题的解决,这是这类问题的常规解法。
导数是新教材新增内容之一,它给高中数 学增添了新的活力,特别是导数在函数与不等 式方
面的应用是高考的热点.数列作为实质意 义上的函数,利用导数研究数列的单调性及最 值问题比用传统方法更为简便. 例l数flJ,a。=(aZ‘l)(n3一2九;)(a笋士 1)是递增数列,求a的取值范围. 解3．【09广东·理】21．（本小题满分14分）
已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为
kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．
（1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5?????x2n?1?1?xnx?2sinn． 1?xnyn【解析】曲线Cn:(x?n)2?y2?n2是圆心为(n,0)，半径为n的圆，切线ln:y?kn(x?1) （Ⅰ）依题意有|nkn?kn|n2，又xn2?2nxn?yn2?0， ?n，解得kn?2n?1kn2?12yn?kn(xn?1)
联立可解得xn?nn?2n?1， ,yn?n?1n?1 （Ⅱ）x1?xn11，2sinn?2sin ?yn1?xn2n?12n?11， 2n?1 先证：x1?x3?x5???x2n?1?证法一：利用数学归纳法 当n?1时，x1?11?，命题成立， 231， 2k?1 假设n?k时，命题成立，即x1?x3?x5???x2k?1? 则当n?k?1时，x1?x3?x5???x2k?1x2k?1?12k?1 x2k?1?2(k?2)2k?112k?124k2?16k?162 ∵()/[]??1， 22(k?2)4k?8k?32k?3故2k?111． ??2(k?2)2k?32(k?1)?1 ∴当n?k?1时，命题成立 故x1?x3?x5???x2n?1?1成立． 2n?1n1?xn12n?1(2n?1)2(2n?1)22n?1n?1??证法二：，， ???22n1?xn2n?12n2n?14n4n?11?n?11?x1?x3?x5???x2n?1?1?xn132n?1132n?11 ???????????242n352n?12n?11?xn下证：11． ?2sin2n?12n?1 不妨设t?13?(0,]，令f(t)?t?2sint，
32n?13]上恒成立， 3则f?(t)?1?2cost?0在t?(0,故f(t)?t?2sint在t?(0,3]上单调递减， 311?2sin． 2n?12n?1从而f(t)?t?2sint?f(0)?0，即综上，x1?x3?x5???x2n?1?x1?xnx?2sinn成立． 1?xnynP(0,1)作曲线C的
3、如图5，过曲线C：y?e上一点0切线0交x轴于点
lQ1(x1,0)，Q又过1作 x轴的垂线交曲线
C于点P1(x1,y1)，然后再过P1(x1,y1)作曲线C的切线l1交
x轴于点 Q2(x2,0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点
P2(x2,y2)，??，以此类推，过点Pn的切线ln ，
与xQn?1(xn?1,0)，再过点Qn?1作x轴的垂线交曲线
轴相交于点
C于点Pn?1(xn?1,yn?1)（n?N*）．