第二章 群论
自测练习
一、概念解释
1. 置换 2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数 二、判断题
1.对于群G的任意两个元a,b来说，方程ax?b和ya?b都在G中有解。 2.任何一个子群都同一个变换群同构。
3. 设H1,H2均为群G的子群，则H1?H2也为G的子群。 （ ） 4. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。（ ） 5.S4的置换????2??1234??是一个4—循环置换。 ?143?6. 群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。 三、选择题
1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. (N,?) B. (Q,?) C. (Z,?), 其中是非零整数集合 D. (C,?) 2. 设e是群G的单位元，a,b是G的两个元素，则（ ）。 A. (ab)?1*?a?1b?1 B. (ab)?2?a?2b?2 C. 若a2?e，则a?a?1 D.ab?ba
3.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 以下结论正确的是 ( )。
A.全体非零整数对普通乘法作成一个群 B.全体奇数对普通加法作成一个群
C.实数域上全体n阶矩阵对普通乘法作成一个群
D.、实数域上行列式等于1的全体n阶矩阵对普通乘法作成一个群 5. 若H,K分别是群G的2011阶, 2012阶子群, 则H?K是群G的( ) 。
A.1阶子群 B.2011阶子群 C.2012阶子群 D.2011?2012阶子群
6. 以下结论正确的是 ( )。
A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限 B.无限群中至少有一个无限阶元
C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数 D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元 7. 在4次对称群S4中，阶等于2的元的个数是( )。 A.2 B. 3 C.6 D.9 8. 设N是群G的不变子群，以下结论不正确的是( )。
A、若G是交换群，则G/N是交换群 B、若G是非交换群，则G/N是非交换群 C、若G是循环群，则G/N是循环群 D、若G中元的阶都有限,则G/N中元的阶都有限 四、填空题
1．设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为。 2．凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。
3. 设G?(a)是循环群，则G与整数加群同构的一个充要条件是 。
4. 设Z是整数加群，2Z?{2n|n?Z}是Z的子群，则商群Z/2Z的阶是 。 5. 模12的剩余类加群Z12到模18的剩余类加群Z18的同态映射有 个。 6. p(p是素数)阶群的子群有 个。
7. 在全体非零复数对普通乘法作成的群C*中，由
是 。
8. 若N是4次对称群S4的12阶子群，则商群S4/N的阶是 。 9. 在同构的意义下，p(p是素数)阶群共有 个。 10. 在实数域上全体2阶可逆矩阵对普通乘法作成的群中，由A??有元素是 。
n?1?3i生成的子群的所有元素2?0?1?生成的子群的所??10?11. 模12的剩余类加群Z12的单位元是 . 12. 已知群G中元素a的阶为6，则a4的阶等于 . 13. 整数加群Z的所有生成元是 .
14. n次对称群Sn的阶是 .
五、计算题
1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G中下列各元素
的阶：a????0?1??01????, ab. ,b?????10???1?1??123456?2.设??S6，其中 ????354162??.
???121）将?分解成不相连循环置换的乘积； 2）求?的阶； 3）求?及?。
3. 设9次置换????5??123456789??， ?37618942?（1）将?表成互不相交的轮换乘积；
(2) 将?表示成形式为对换的乘积； (3)求出?的逆与的阶。
六、解答与证明题
1.请举一个幺半群其中有一个元素的左逆元不一定是右逆元，右逆元也不一定是左逆元。 2.设G是由以下四个二阶方阵作成的集合
?10???10??10???10?a???01??,b???0?1??,c???0?1??,d???01??，证明：G对方阵的普通乘法作成
????????一个交换群，并给出乘法表。
3. 假设G是2n阶群，则G包含有2阶元素；如果n是奇数并且G是Abel群，则G只有一个2阶元素。 证明
4.实数集R，对运算a?b?2(a?b)能否作成群，并说明理由。
5.设G=（a）是循环群，证明：当a?n时，G=（a）与n次单位根群同构。
6.设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个群。
7.设R是一个有单位元1的环，a,b?R,证明：如果1?ab在R中有逆元，则1?ba在R中也有逆元。
8.设R2为所有实数对(x,y)作成的集合，对运算(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，R2能否构成群，说明理由。
9.令G=?e,a,b?，且G有如下乘法：
e a b e e a b a a b e b b e a 证明：G对此乘法作成一个群。
10.非零实数集R对运算a?b?ab能否作成群，说明理由。 11.实数集R，对运算a?b?2(a?b)能否作成群，并说明理由。 12.证明：在群G中只有单位元满足方程x?x。
13. 设G是一个阶大于1的群，证明：若G中除单位元外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限就是一个素数。
14.证明：任何群都不能是两个非平凡子群的并。 15.两个子群的乘积不一定是子群。
16.证明：群G是有限群当且仅当G只有有限个子群。 17.试举出满足以下条件的群：
1）G是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G是无限群，G中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 18.证明：在任意群Ｇ中，a与cac(a,c?G)同阶。
?1219. 假定群G的阶为n,且G?(a).证明：G?(ar),这里(r,n)?1. 20.一个群G的可以写成a?1b?1ab形式的元叫做换位子,证明：
(1)所有有限个换位子的乘积组成的集合C是G的一个不变子群,称为G的导群或换位子群；
(2)G／C是交换群；
(3)若N是G的一个不变子群，并且G/N是交换群，那么N?C.
21.假定～是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G
的任意三个元a,x,y来说，有ax～ay?x～y。
证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。 22.设循环群G=(a)是可换群.
23.设G是一个阶大于1的群,证明：G只有平凡子群当且仅当G为素数阶循环群。
24.假定群G的不变子群N的阶是2,证明:G的中心C(G)包含N.
25.假定G和G是两个群,并且?是G到G的同态满射。
(1). 证明ker?是群G的正规子群； (2). 证明?是同构映射当且仅当ker?={e}。
?26.证明：阶是p的群G一定包含一个阶是p的子群，其中m?Z，p是素数.
m
??27.设G=（a）是循环群，证明：当a??时，G=（a）与整数加群同构。
28.整数加群Z是否与偶数加群2Z同态？整数环Z是否与偶数环2Z同态？请简要陈述理由.
29.设N?G，证明：N?G的充要条件是N的任意两个左陪集的乘积是左陪集。
30．设H,K是群G的子群，证明： (1)[H:H?K]?[G:K]；
（2）当[G:K]有限时，则[H:H?K]?[G:K]当且仅当G?HK。
????131.设f是群G到群G的同态满射，N?G，N?f自测练习参考答案 一、概念解释 参见课本 二、判断题
(N)，证明：G?N?G?N?。
1.√， 2.√， 3.× , 4.√, 5. × , 6. × 三、选择题
1. （A ） 2. （C ） 3. （B ） 4. （D ） 5. （A ） 6. （C） 7. （D ） 8. (B ） 四、填空题
?11.ab 2. 变换群 3. |a|?? 4. 2 5. 6 6. 2 7.1,?,?,??2?1?3i 8. 2 9. 1 2?0?1???10??01??10?10. ? ??，?，??10?，?01? 11.[0] 12. 3 13.1,-1 14.n!
100?1????????五、计算题
?10???1?1??01??0?1?231.G的单位元为e???01?? a???10?? a????10?? ?10?? a???????????10???11??10??11?23??????又 a4??b?b?ab??01??10??01??01??对任意的整数n ?????????11??1n??10???(ab)n????01??01?????01?? 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限 ??????2. 1）??(134)(256)； 2）?的阶为3；3）??1n?(143)(265)， ?2???1?(143)(265)