号考 ） 题 答名 姓要 不 内 线级 班封 密 （ 业 专 系
南阳理工学院2010----2011学年第一学期试卷
课程 线 性 代 数 A卷
命题教师： 樊 晓 适用对象：全院学生
评卷人（签名）___________ 复核人（签名）___________ 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一．填空题（每空3分，共24分）
1．如果|A|=2，则A?1? 。
2．正交矩阵A= ??a11a12a13?1?aaa??21?，则A?= 。 2223?a31a32a33??3．若AX?AY，则X?Y，那么矩阵Am?n应满足 。
8?11274．2?1134119?_____________。
（提示：利用范德蒙德行列式的结果求解） 11115．四阶行列式中含有因子a14a21a33的项应取符号是 。 6．向量??(1,2,3)与向量??(t,1,0)正交，则t?________。
7．设四阶行列式的第二行元素依次为2,x,1,0，第三行的各元素的余子式分别为 3,6,1,5，则x? 。
?200?8．已知A???200??001??，B???0y1??，且A与B相似，则y? 。 ??010????01?1??二．单项选择题（每题3分，共24分）
1. 行列式D= 0的必要条件是 ，
（A）D 中至少有两行（列）元素对应成比例； （B）D 中至少有一行（列），其各元素可用行列式性质化为0； （C）D 中任意一行（列）各元素可用行列式性质化为0。
2．若矩阵A存在一个r阶非零子式，则R(A)与r 之间的关系为 ， （A）R(A)?n； （B）R(A)?n； （C）R(A)≥n.
3．设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，且|A|≠0，则|A*|? ，
（Ａ）a?1； （Ｂ）an?1 ； （Ｃ）an 。
4．若非齐次线性方程组Ax?b的唯一的解，其导出组Ax?0 的解的情况 是 ，
（A）有唯一零解； （B）有非零解； （C）不确定。 5．设A是n阶方阵，且R(A)＜n,下列说法不正确的是 ， （A）齐次线性方程组Ax?0有非零解； （B）A?0； （C）A中任一列向量都是其余列向量的线性组合。 6．设A是n阶方阵，若A2=
E，则下列结论成立 ，
（A）A的特征值是1； （B）A的秩是n； （C）A?1 。 7．下述说法正确的是 ，
（A）方阵可对角化的充分必要条件是它有n个不相同的特征值；
（B）设q1,q2为A的两个特征向量，则k1q1?k2q2（k1,k2不全为零）也是A
的特征向量；
（C）齐次线性方程(A??E)x?0的每一个解向量都是对应于特征值?的特征 向量
（D）A与AT有相同的特征多项式。
8．下列_____可作为向量组?1,?2,?,?r(r?2)线性相关性的充分必要条件： （A）每一个向量都可由其余所有向量线性表示；
（B）任一部分组（不含向量组本身）线性相关；
（C）齐次线性方程组x1?1?x2?2???xr?r?0存在基础解系。 三．（本题6分）
53?120
17252 计算行列式D=0?2310
0?4?14002350四．（本题6分） ?012? 用矩阵的初等变换法求解线性方程组Ax?b ，其中A???114???，
?2?10???b??0??1?? 。
??0?? （注：用其它方法求解得到正确答案者仅给3分）
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五．（本题10分）
解下列非齐次线性方程组，并用其导出组的基础解系表示一般解
? ?x1?x2?2x3?x4?1?2x 1?x2?x3?2x4?3 ? ?3x1?x2?3x4?5 六．（本题10分）
用矩阵的初等变换求下向量组的秩和一个极大线性无关组：
?1?(2,1,4,3),?2?(?1,1,?6,6),?3?(?1,?2,2,?9),?4?(1,1,?2,7),
?5?(2,4,4,9)
七．（本题12分，每步6分）
?122? 已知矩阵A???212???，
?221??1） 求A的特征值和特征向量；
2） 将A对角化，并写出相似变换矩阵Q和与A相似的对角矩阵。
八．（本题8分）
设?1,?2,?,?n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en 能由它们线性表示，证明向量组?1,?2,?,?n线性无关。