食饵—捕食者模型的进一步研究
一、 摘要
捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多, 自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。
二、 关键字
自身阻滞、Logsitic、稳定性分析、相轨线分析 三、 问题描述：
意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，．．．．．．食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ ．．．．．． 年代 百分比 年代 百分比 1914 11.9 1919 27.3 1915 21.4 1920 16.0 1916 22.1 1921 15.9 1917 21.2 1922 14.8 1918 36.4 1923 19.7
他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一
个食 饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题 ．．．．．．．．．．．．
四、 问题提出：
现在的问题是在原有模型的基础上进一步研究参数及初始值的变化对食饵和．．．．．．．．．．．
捕食者数量的周期、最大（小）值的影响。并引入Logistic项，分析相轨线及参数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的影响。使问题更进一步切合实际。
五、 问题分析：
该问题的焦点在于；在研究的15年期限内，鲨鱼在鱼的捕获量中所占的比
例明显上升而被捕食者（食用鱼）所占比例却呈下降趋势，显然战争使捕鱼量下降，生态系统中总的鱼量增加，食用鱼增加，鲨鱼等也增加，但为何鲨鱼的比例大幅增．．
加而食用鱼的比例却下降那？据此分析外界的有利因素更有利于强者生存的条．．件。
六、 模型求解：
（1）相关变量:
x1(t)——食饵(食用鱼)在t时刻的数量； x2(t)——捕食者（鲨鱼）在t时
刻的数量； r1——食饵独立生存时的增长率；r2——捕食者独自存在时的死亡率；
?1——捕食者掠取食饵的能力；?2?t?——食饵对捕食者的供养能力；e—捕获能力
系数；N1——生态系统所能容纳的最大鱼饵量，N2——生态系统所能容纳的最大鲨鱼量。
（2）基本假设：
1； ○．食饵由于捕食者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比．．． ○2捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长率升高，假定增长 的程度与食饵数量成正比。 ．．
○3捕食者掠取食饵的能力对鱼饵的影响与捕食者的数量成正比；食饵对捕食者的供养
能力对鲨鱼的影响与食饵的数量成正比。 ．．
（3）建立模型：
有、无捕捞时鱼饵的自然增长服从 Logistic规律捕捞情况下公式 ．．．．．．．．．．．．
考虑捕获量与捕食关系建立最终模型：
?(t)?f(x)?rx(1?xx)N
?x1?x'1?t??r1x1?1??N???ex1??1x1x21??xx'2?t???r2x22?ex2??2x1x2N2
（4）已知条件：
设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, N1=1000，N2=20.
则战前与战争中的模型分别为: 停战：
战争时：
?x1?x'1?t??x1?1??N???0.3x1?0.1x1x21??xx'2?t???0.5x22?0.3x2?0.02x1x2N2
?x1?x'1?t??x1?1??N???0.1x1?0.1x1x21??xx'2?t???0.5x22?0.1x2?0.02x1x2N2
另取：
再取：
在上述条件下分别用matlab演算两种鱼各自的数量变化，并求出最大最．．．小值，以及各自在总数中所占比例，并分析各种情况下所得结果与初值的关系．．．．及其实际物理意义
（5） Matlab运行结果:
若不考虑战争的情况下x1(t)，x2(t)随时间的变化
取取
若考虑战争的情况下x1(t)，x2(t)随时间的变化
分析：15年内，鲨鱼和鱼饵数量均随时间波动，并且明显战争中捕捞量下降
鲨鱼和鱼饵的数量最大值均比和平时期要高，捕捞成了影响它们数量变化的主要因素。这与实际自然界的情况相符，并且它们数量的变化符合生态系统种群之间的依赖关系 说明：“——”代表鱼饵数量，‘***’代表鲨鱼数量
分析：和平与战争的情况下
的相图可知，由于考虑Logistic模型．．．．．．．．
和人类捕捞及互相竞争，在和平与战争的情况下鲨鱼和鱼饵在同一时间的数量随
时间的变化不具有周期性而是呈一种优美的螺旋线型。
x2?t? (鲨鱼)在战争与和平时期在生物总量中不同时期所占的比例，?表示
战争中，可见有一段时间在战争中它的比例是明显高于和平时期的，特别是从第11年开始其比例明显攀升。
若不考虑战争的情况下x1(t)，x2(t)随时间的变化
若考虑战争的情况下x1(t)，x2(t)随时间的变化
取