内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2课时 对数的运算性质
1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；
2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．
1．对数的运算法则
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么： 指数的运算法则?对数的运算法则 ①am·an＝am＋n?loga(MN)＝logaM＋logaN；
②ama＝am·a－n＝am－n?logMnaN＝logaM－logaN； ③(am)n＝amn?logna(N)＝n·logaN.
积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log26－log23＝________；
(2)log1
53＋log53
＝__________.
答案：(1)1 (2)0
【做一做1－2】若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则xy的值是__________． 解析：由等式得(x－2y)2
＝xy， 从而(x－y)(x－4y)＝0， 因为x＞2y，所以x＝4y. 答案：4 2．换底公式 (1)loglogab＝cbloga，即有logca·logab＝logcb(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)；c(2)log1ba＝
log，即有logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)； ab(3)lognambn＝
mlogab(a＞0，a≠1，b＞0)．
换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N＝a，用a的代数式表示： (1)log100N＝__________； (2)log10N＝__________. 答案：(1)1
2
a (2)2a
1
运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：logn(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a＞0且a≠1，M＞0，N＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．
题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：
1
(1)log535＋2log12－log5－log514；
50
2222
(2)lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg2；
3
lg 2＋lg 3－lg10(3).
lg 1.8
分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log535＋2log12135×50
2－log550－log514＝log514＋2log122＝log553－1＝2.
21222
(2)lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg2
3
2
＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg2
2
＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)＝2＋1＝3.
1
＋lg 9－
lg 2＋lg 3－lg 102(3)＝ lg 1.8lg 1.818lg101＝＝. 2lg 1.82
反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．
题型二 有关对数式的恒等证明
2a＋3blg a＋lg b22
【例2】已知4a＋9b＝4ab(a＞0)，证明lg＝.
422a＋3b分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg＝lgab，因此只要利用条件证出
4
真数相等即可．
?2a＋3b?2＝ab， 22
证明：由4a＋9b＝4ab，得??
?4?
因为a＞0，所以b＞0，两边取以10为底的对数，
?2a＋3b?2＝lg(ab)， 得lg???4?2a＋3b即2lg＝lg(ab)，
4
2
2a＋3b1
＝lg(ab)， 42
2a＋3b1
所以lg＝(lg a＋lg b)．
42
2a＋3blg a＋lg b因此lg＝，所以原等式成立．
42
反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b＞lg0.
题型三 对数换底公式的应用
b【例3】已知log23＝a,3＝7，则log1256＝__________(用a，b表示)．
a解析：方法一：∵log23＝a，∴2＝3.
babab又3＝7，∴7＝(2)＝2.
3＋ab故56＝8×7＝2.
aa＋2
又12＝3×4＝2×4＝2， 从而56=(2a+2)3?ab2?a=123?aba?2.
故log1256＝log12123?aba?2=3?ab. a?2a1
方法二：∵log23＝a，∴log32＝. 又3＝7，∴log37＝b.从而
bb＋3·aab＋3log356log37＋log38log37＋3log32
log1256＝＝＝＝＝. log312log33＋log341＋2log321a＋2
1＋2·alg 3
方法三：∵log23＝＝a，∴lg 3＝alg 2.
lg 2
b又3＝7，∴lg 7＝blg 3.∴lg 7＝ablg 2.
lg 563lg 2＋lg 73lg 2＋ablg 23＋ab从而log1256＝＝＝＝. lg 122lg 2＋lg 32lg 2＋alg 22＋a3＋ab答案： 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．
题型四 有关对数的应用题
1414
【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性C.C的衰变极有规律，其
14
精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的C，可以通过与大气
14
的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的C含量保持不变，死亡后的动植
14
物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的C按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．
14
(1)设生物体死亡时，体内每克组织的C含量为1，试推算生物死亡t年后体内每克组14
织中的C含量p；
14
(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时C的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．
14
解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中C的残留量为x.由于死亡机体中原有1414的C按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的C含量p有如下关系：
死亡年数t 1 2 3 … t … 1423C含量p x x x … xt …
3
1
因此，生物体死亡t年后体内C的含量p＝x.
1145 730
由于大约经过5 730年，死亡生物体的C含量衰减为原来的一半，所以＝x.
25 7301?1?5730于是x＝＝?. 2??2?所以生物死亡t年后体内每克组织中的C含量p??14
14t1?1???2?t5730.
(2)由p???1???2?t5730可得t?5730log1p.
214
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时C的残余量约占原始含量的76.7%，即p＝0.767. 所以t?5730log10.767?2 193.
2故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．
14
反思：生物体死亡后，机体中原有的C每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半
14
衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内C的含量属于指数函数模型；反
14
之，已知衰减比率和若干年后机体内C的含量，求衰减的年数应属于对数知识．
的值为__________(用a表示)．
1设lg a＝1.02，则0.01
0.01
解析：设0.01＝x，
0.01
则lg x＝lg 0.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a＋lg x＝lg ax＝－0.02＋1.02＝1.
10
∴ax＝10，x＝. 0.01
a答案：
10
a
2若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a＋2b－2. 答案：a＋2b－2
1－a3已知log32＝，则log23＝__________.
aa2a解析：由条件得log23＝，所以log23＝. 1－a1－a2a答案： 1－a4计算：log2
71
＋log212－log242. 4821?7?1
×12×?＝－2. 7×6??43
解：原式＝log2?
111xyz5设x，y，z为正数，且3＝4＝6，求证：－＝.
zx2yxyz证明：设3＝4＝6＝k，且x，y，z为正数， 所以k＞1.
那么x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
1111111111所以－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.所以－＝.
zxlog6klog3k22log4k2yzx2y
4