1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由x?x知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是{xx?R,x?1},而函数g(x)的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
2?4?x?0??x?0 即
所以函数的定义域是(??,0)?(0,4].
(2)要使函数有意义,必须
?x?4??x?0
?x?3?0??lg(1?x)?0?1?x?0? 即
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
?x??3??x?0?x?1?
x2?1?0 即 x??1
所以函数的定义域是(??,?1)?(?1,1)?(1,??).
(4)要使函数有意义,必须
11??sinx??1?2sinx?1 即 22
ππ5π7π??2kπ?x??2kπ?2kπ?x??2kπ66即6或6,(k为整数).
ππ??kπ?x??kπ6也即6 (k为整数).
ππ[??kπ,?kπ]6所以函数的定义域是6, k为整数.
13.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x?0时,x可以是不为零的任意实数,此
1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 时,
11?1x?x?1.f()?1?(?x)1?x1?0x1?1x?1f(?x)??,f(0)??11?(?x)1?x1?0x4. 解: , ?1?x?1?0?1,0?x?1?1,f(x?1)????.(x?1)?1,0?x?1?2x,1?x?3??5.解:
6.解: f(g(x))?2g(x)?2xlnx,
g(f(x))?f(x)lnf(x)?2x?ln2x?(xln2)?2x,
f(f(x))?2f(x)?22,g(g(x))?g(x)lng(x)?xlnxln(xlnx).
7. 证:由y?2x?1解得
33xx?3y?12, 故函数f(x)?2x?1的反函数是
3f(x)?2x?1和数,所以
y?3x?1(x?R)g(x)?2,这与
3x?12是同一个函g(x)?3x?12互为反函数.
1?y1?xx?1?y, 1?x解得8. 解: (1)由
1?x1?xy?y?(x??1)1?x1?x所以函数的反函数为.
y?1(2)由y?ln(x?2)?1得x?e?2,
y?x?1y?e?2 (x?R). y?ln(x?2)?1所以,函数的反函数为
1(log3y?5)y?32(3)由解得
1y?(log3x?5) (x?0)2x?5y?32所以,函数的反函数为.
2x?5x?3y?1?cosx得cosx?(4)由
3y?1,又x?[0,π],故x?arccos3y?1. 3又由?1?cosx?1得0?1?cosx?2,
3y?1?cosx,x?[0,π]的反函0?y?2即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3数为y?arccosx?1 (0?x?2).
9. 解: (1)?f(?x)?1?(?x)?1?(?x)?1?x?1?x?f(x)
?f(x)?1?x?1?x是偶函数.
?2x2x?2x2x2x?2x?f(?x)?e?e?sin(?x)?e?e?sinx??(e?e?sinx)??f(x) (2)
2x?2x?函数y?e?e?sinx是奇函数.
x?02x?010. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有1?x,当x?0时,有
xx1??1?x22x2,
1xy?y?2.即函数1?x2有上界. 故?x?(??,??),有
xy?1?x2为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函又因为函数
xy?1?x2有界. 数必有下界,因而函数
x1x2(x1?x2)(1?x1x2)??221?x121?x2(1?x12)(1?x2)知,当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2,而 又由
当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2.
y1?y2?故函数
(2)函数的定义域为(0,+∞),
y?x1?x2在定义域内不单调.
??M?0,?x1?0且x1?M;?x2?eM?0,使lnx2?M. 取x0?max{x1,x2},则有x0?lnx0?x1?lnx2?2M?M,
所以函数y?x?lnx在定义域内是无界的. 又当0?x1?x2时,有x1?x2?0,lnx1?lnx2?0
故y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?(lnx1?lnx2)?0. 即当0?x1?x2时,恒有y1?y2,所以函数y?x?lnx在(0,??)内单调递增.
2y?(1?x)y?u,u?1?x11. 解: (1)是由复合而成. 22(2)y?sin(1?2x)是由y?u,u?sinv,v?1?2x复合而成.
12414(3)y?(1?101?x52)是由y?u,u?1?v,v?10w,w??x5复合而成.
121?11?arcsin2x是由y?u,u?1?v,v?arcsinw,w?2x复合而成. (4)
12.证: (1)设F(x)?f(x)?f(?x),则?x?(??,??), y?有F(?x)?f(?x)?f(x)?F(x) 故f(x)?f(?x)为偶函数.
(2)设G(x)?f(x)?f(?x),则?x?(??,??),
有G(?x)?f(?x)?f(?x)??[f(x)?f(?x)]??G(x) 故f(x)?f(?x)为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x;
106106106?0.05又每批有产品x件,库存数为2x件,库存费为2x元.
106?0.05y?10x?2x设总费用为,则. xxxx[]?y??0.80?20时,邮资2025; 14. 解: 当x能被20整除,即20?x?xxy???1??0.80[]??20?20时,由题意知邮资当x不能被20整除时,即20.
3?x?x?,0?x?2000且??20????25?y????x?1??0.80,0?x?2000且?x?????20???20????综上所述有
x;20x.20
?x??x?xx?1?1????2020????其中,分别表示不超过20,20的最大整数.
ex?e?xy?sinhx?2xxe?2ye?1?0 215. 证: (1)由得
x22xxe?y?1?ye?2ye?1?0解方程得, x22x因为e?0,所以e?y?1?y,x?ln(y?1?y)
所以y?sinhx的反函数是y?arcsinhx?ln(x?1?x) (???x???).
2ex?e?xe2x?1?y2x?ln1?y,x?1ln1?yy?tanhx?x?x1?y21?y; 1?y,得e?e得(2)由
1?y?01?y又由得?1?y?1,
所以函数y?tanhx的反函数为
11?xy?arctanhx?ln (?1?x?1).21?x
11S0?h(AD?BC)?h(2hcot??BC?BC)?h(BC?hcot?)2216. 解: SBC?0?hcot?h从而 .
L?AB?BC?CD (AB?CD)?2Shh?BC?2?0?hcot?sin?sin?hS02?cos?S02?cos40???h??hhsin?hsin40?
S0??hcot??0(0,Stan40)0h由得定义域为.
n?1(1)xn?,n?1当n??时,xn?1. 17. 解:
n?1(2)xn?ncosπ2, h?0,BC?当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于??,趋向于0,趋向于??.
(3)xn?(?1)n2n?12n?1,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
n??18. 解:
(1)a?limxn?0,???0,要使
xn?0?1nπ11???sinn?nn2?.取,只须
?1?N??????,则当n?N时,必有xn?0??.
?1?N???1000??0.001?当??0.001时,或大于1000的整数.
(2)a?limxn?0n??,???0,要使
xn?0?n?2?n?221????n?2?n2nn
只要n?1?即
n?1?2即可.
?1?N??2????,则当n?N时,有xn?0??. 取
?1?8N???10?0.00012??当??0.0001时, 或大于108的整数.
?1?111N?????0n???22(1)???0n?n???,则当n>N时,恒19. 证: ,要使,只要.取
11???0lim?022n??nn有.故.
5553n?13?5?5????,N???n??????,则当?,取(2) ???0,要使2n?122(2n?1)4nn只要3n?133n?13???lim?n??2n?122n?12. n>N时,恒有.故
(3) ???0,要使
a2a2n2?a2?2???1?n?22n(n?a?n)nn,只要
a2?,取
?a2?n??????,则当n>N时,恒有n2?a2n2?a2???1lim?1n??nn,从而.
n个??????10.999?9?1(4)因为对于所有的正整数n,有,故???0,不防设??1,要使
n个??ln??1?ln????N?,?n??,n?,???ln10?则当n?N时,恒有0.99?9?110ln10取只要
?????,0.9?9?91故n??20.证:
n个n个???lim0.99?9?1.
?limxn?0n??x?a??.
,由极限的定义知,???0,?N?0,当n?N时,恒有nxn?a?xn?a??
而
????0,?N?0,当n?N时,恒有xn?a??,
limxn?a.由极限的定义知n??
但这个结论的逆不成立.如
xn?(?1)n,limxn?1,n??但n??limxn不存在.
1??(1)?0?(n?1)k?nk?nk?(1?)k?1??nkn??21. 解:
1lim?0lim0?01?kn??n??n而,当k?1时,
11???(1?)?11?k??n??n