洛阳师范学院本科毕业论文
?1?1?， A?????12??E?A???1?1?1????1????2??1?0， ??2解得A的特征值为?1?3?5. 23?53?53?5，?2?，由定理4.6.1得，f?x,y?的最大值为，
222最小值为
5 正定矩阵的推广
定义5?2? 设A?Rn?n，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1, 都存在S?SX?Pl,
T使得XTSXAX?0,则称A为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为PL?，若
xSX与X无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作PL?.
定义6?2? 设A?Rn?n，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1，都存在B?BX?PD,
T使得XTBXAX?0，则称A为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为PD?，
X若BX与X无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作PD?. 各种定义有如下关系：
PS?P?PL??PD? l?PD?PS? 证明 ?1? 显然PS?Pl；
?2? 对?A?Pl，有XTAX?0，即XTEAX?0，E为n阶单位矩阵，当然是正对角
矩阵，所以A?PD，所以Pl?PD；
?3? 对?A?PD，存在正对角矩阵D，使XTDAX?0，显然D?PS，所以A?PS?，
所以PD?PS?；
?4? 对?A?PS?，存在S?PS,使得XTSAX?0，当然S?P，所以 l，所以A?PL?PS??PL?；
15
洛阳师范学院本科毕业论文
?5? 对?A?PL，存在S?Pl,使得XTSAX?0，因为Pl?PD，所以S?PD，所以
?A?PD?，所以PL??PD?.
6 广义正定矩阵的一些性质
定理6.1 若A?PD，则A?0.
证明 因为A?PD，则存在正对角矩阵D，使XTDAX?0，所以DA?Pl，所以
DA?0，因为D?0，所以A?0.
定理6.2 A?PS?、A?PL?、A?PD?都有A?0. 其证明方法都类似于定理6.1，在这里就不再一一写出. 定理6.3?11? A?PS?等价于?B?PS，C?Pl，使A?BC或A?CB. 证明 必要性
因为A?PS?,所以?D?PS,使
XTDAX?0
则
?1DA?Pl，D?PS,
令
C=DA,B=D?1,
所以
A=D?1DA=BC B?PS，C?Pl，
或者，将XTDAX?0改写为
?DX?令
TAD?1?DX??0,
C=AD?1?Pl,B=D?PS,
所以
16
洛阳师范学院本科毕业论文
A=AD?1D=CB.
充分性
n?1?0，C， 不妨设?B?PS,C?P使A?B则C=B?1A，因为C?P l，l,所以对?X?R有XTCX?0,即XTB?1AX?0,因为B?1?PS,所以A?PS?.
定理6.3说明，对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判定定理.
定理6.4?10? 设A?PS?,则存在正交矩阵Q，使得QTAQ?PD.
证明 因为A?PS?，所以存在S?PS, 使得SA?Pl，因为S?PS，所以存在正交矩阵Q，使QTSQ为正对角矩阵，又
QTSA=QTSQQTAQ，
因为QTSAQ?Pl，所以对?X?Rn?1?0，有XTQTSAQX?0,即
XT?QTSQ??QTAQ?X?0,
因为QTSQ为正对角矩阵，所以QTAQ?PD.
7 结束语
通过本文的写作，使我对正定矩阵有了更加深入的认识，并且利用正定矩阵解决了代数中的一些问题. 在此基础上，将正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵.
8 致谢
本论文在选题及写作过程中得到黄盛老师的悉心指导，黄老师多次询问写作进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励. 黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，深深地感染和激励着我. 正是由于他在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型. 在此对黄老师表示由衷的感谢！
同时，也感谢大学里各位老师的教导以及班级同学的帮助和支持！
17
洛阳师范学院本科毕业论文
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003: 162-226.
[2]戴泽俭，凌灯荣，夏徐林. 关于正定矩阵的进一步推广[J]. 安庆师范学院学报，2006,12（2）：23-24.
[3]佟文廷. 广义正定矩阵[J]. 数学学报, 1984(27): 810-810.
[4]夏长富．钜阵正定性的进一步推广[J]．数学研究与评论, 1988, 8(4)：499-504. [5]吴亚敏. 正定矩阵的性质[J]. 数学学习与研究, 2011: 110-111.
[6]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 第二版. 北京：中央民族大学出版社，2010: 112-224.
[7]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 辽宁省交通高等专科学校学报,2008,10(5): 30-33.
[8]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2008: 136-139.
[9]薛蓉华. 二次型性质的若干应用[J]. 福建工程学院学报, 2011, 9(3): 273-275. [10]何春羚. 关于广义正定矩阵性质的讨论[J]. 重庆文理学院学报，2007, 26(4): 15-17.
[11]沈光星. 广义正定矩阵及其性质[J]. 高等学校计算数学学报, 2002（2）：186-192. [12]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 赤峰教育学院学报, 2000, 2: 44-46.
18
洛阳师范学院本科毕业论文
The Properties of Positive Definite Matrix and Promotion
LI Jun-xia
College of Mathematics Science No：080414076
Tutor: HUANG Sheng
Abstract: Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positive definite matrix was further promotion, get some properties of the generalized positive definite matrix, and the correspondi- ng proof.
Key words: positive definite matrix; generalized positive definite matrix; positive diagonal matrix; real symmetric matrices
19